დამზადებულია Morenshildt I.K.-ის მიერ. ჯგუფი 1.45.36 ფრუნზენსკის რაიონის სკოლა No 314 მასწავლებელი კოროლევა ო.პ. სანქტ-პეტერბურგი 2006 წ * სანქტ-პეტერბურგის საინფორმაციო ტექნოლოგიებისა და ტელეკომუნიკაციების ცენტრი ორმხრივი ინვერსიული ფუნქციები

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქცია ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ძირითადი განმარტებები მაგალითი განტოლებები ინვერსიული ფუნქციების გრაფიკები ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები სინუსის და არქსინის ფუნქციები კოსინუსის და არქოზინის ფუნქციები ტანგენტისა და არქტანგენტის ფუნქციები კოტანგენტისა და არკოტანგენტის ფუნქციები გამოცდის წყაროები შინაარსი დასრულება

შექცევადი ფუნქცია თუ ფუნქცია y=f (x) იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას მხოლოდ x-ის ერთი მნიშვნელობისთვის, მაშინ ამ ფუნქციას ეწოდება შექცევადი. ასეთი ფუნქციისთვის შესაძლებელია არგუმენტის მნიშვნელობებსა და ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის საპირისპირო კავშირის გამოხატვა.

მოცემული კონკრეტული შემთხვევის შებრუნებული ფუნქციის აგების მაგალითი მოცემული კონკრეტული შემთხვევისთვის მოცემული ფუნქციის y=3x+5 განტოლება x-ისთვის ჩანაცვლება x y-ით ფუნქციები (1) და (2) ურთიერთშებრუნებულია ზოგადი შემთხვევა y=f (x) არის შექცევადი ფუნქცია განსაზღვრული ფუნქცია x= g (y ) ჩაანაცვლეთ x y y= g(x) ფუნქციები y=f(x) და y=g(x) ურთიერთშებრუნებულია

შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები y=log a x y=a x y=x a>1

ფუნქციები sin x და arcsin x განვიხილოთ ფუნქცია y=sin x სეგმენტზე ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. FZF [-1;1]. ფუნქცია y= arcsin x არის y=sinx ფუნქციის შებრუნებული. [ -  ;  ] 2 2

ფუნქციები cos x და arccos x განვიხილოთ ფუნქცია y=co s x სეგმენტზე ფუნქცია მონოტონურად კლებადია. FZF [-1;1]. ფუნქცია y=arccos x არის y=co sx ფუნქციის შებრუნებული.

ფუნქციები tg x და arctg x განვიხილოთ ფუნქცია y= tg x ინტერვალზე ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. ORF არის კომპლექტი R. ფუნქცია y= arctg x არის y= tg x ფუნქციის შებრუნებული. (-  ; ) 2 2

ფუნქციები ctg x და arcctg x განვიხილოთ ფუნქცია y= ctg x ინტერვალზე (0; ). ფუნქცია მონოტონურად მცირდება. GFZ კომპლექტი R. შებრუნებული არის ფუნქცია y \u003d arcctg x.

ტესტი თემაზე "ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები" კითხვა No1 კითხვა No2 კითხვა No3 კითხვა No4 კითხვა No5 დასრულება დასრულება

კითხვა No1 ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები განლაგებულია კოორდინატთა სისტემაში სიმეტრიულად: კოორდინატების წარმოშობა პირდაპირი y \u003d x ღერძი OY ღერძი OX

კითხვა No2 როგორ არის დაკავშირებული ორიგინალის განსაზღვრის დომენი და შებრუნებული ფუნქციის დომენი? მატჩი დამოუკიდებელი

კითხვა #3 რა არის ლოგარითმული ფუნქციის შებრუნებული? სიმძლავრის ხაზოვანი კვადრატული ექსპონენციალური

კითხვა #4 ფუნქცია y=arcctg x არის y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x ფუნქციის შებრუნებული

კითხვა #5 თემა „რეციპროკული ფუნქციები“ არის ელემენტარული ჩემი საყვარელი ადვილად გასაგები

ჰოო! ჰოო! ჰოო! კარგი მეცნიერო!

არასწორი პასუხი გაიმეორეთ თავიდან!

არასწორია! აღშფოთებული ვარ შენი პასუხით!

ალგებრის წყაროები და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / შ.ა. ალიმოვი, იუ.მ. კოლიაგინი, იუ.ვ. სიდოროვი და სხვები - მე-12 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 2004. - 384გვ. ალგებრის შესწავლა და ანალიზის დასაწყისი 10-11 კლასებში: წიგნი. მასწავლებლისთვის / ნ.ე. ფედოროვა, მ.ვ. ტკაჩევი. - მე-2 გამოცემა. - M .: განათლება, 2004. - 205გვ. დიდაქტიკური მასალები ალგებრაზე და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასისთვის: სახელმძღვანელო მასწავლებლისთვის / ბ.მ. ივლევი, ს.მ. საჰაკიანი, ს.ი. შვარცბურდი. - მე-2 გამოცემა, შესწორებული. - მ.: განმანათლებლობა, 1998. -143გვ. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

თემა: „ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები“.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

გაიმეორეთ და შეაჯამეთ მოსწავლეთა ცოდნა მე-9 კლასში შესწავლილი თემაზე „ფუნქცია“. ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გაცნობა, შებრუნებული ფუნქციის არსებობის პირობები და მისი თვისებების შესწავლა, შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკების აგება.

განვითარება:

განავითაროს მოსწავლეთა შემოქმედებითი და გონებრივი აქტივობა, მათი ინტელექტუალური თვისებები: პრობლემის „დანახვის“ უნარი.

ჩამოაყალიბონ თავიანთი აზრების მკაფიოდ და მკაფიოდ გამოხატვის, კვლევის, ანალიზის, შედარების, დასკვნების გამოტანის უნარი.

მოსწავლეებში დამოუკიდებელი შემოქმედებისადმი ინტერესის განვითარება.

განავითარეთ მოსწავლეთა სივრცითი წარმოსახვა.

საგანმანათლებლო:

უჩვეულო სიტუაციაში ხელმისაწვდომ ინფორმაციასთან მუშაობის უნარის გამომუშავება.

განავითარეთ სიზუსტე და კეთილსინდისიერება.

განახორციელეთ ესთეტიკური განათლება.

გაკვეთილის ტიპი:კომბინირებული.

აღჭურვილობა:

• მულტიმედიური პროექტორი;

  განაცხადი გაკვეთილზე: (პრეზენტაცია.) - ელექტრონულ მედიაზე;

განათლების საშუალებები: კომპიუტერები, პროგრამული უზრუნველყოფაexcel, მედია პროექტორი, სლაიდ პრეზენტაცია.

დემოები: ერთ კოორდინატულ სისტემაში აგებული ფუნქციების გრაფიკები.

საგანმანათლებლო საქმიანობის ორგანიზების ფორმები: ინდივიდუალური, დიალოგი, სლაიდის ტექსტთან მუშაობა, კვლევითი სამუშაო რვეულში.

მეთოდები: ვიზუალური, სიტყვიერიგრაფიკა, კვლევა.

გაკვეთილების დროს.

1. მასწავლებლის შესავალი სიტყვა. ინსტალაციის საუბარი. სტუდენტების ფსიქოლოგიური განწყობა.

გაკვეთილზე უნდა გავიმეოროთ და შევაჯამოთ ცოდნა მე-9 კლასში შესწავლილი თემაზე „ფუნქცია“, გავეცნოთ ურთიერთშებრუნებულ ფუნქციებს, შევისწავლოთ შებრუნებული ფუნქციის არსებობის პირობები და მისი თვისებები, ვისწავლოთ შებრუნებული გრაფიკების აგება. ფუნქციები. ვუსურვებთ ერთმანეთს წარმატებებს და ნაყოფიერ მუშაობას.

2. თემაზე „ფუნქციები და მათი გრაფიკები“ განხილული მასალის გამეორება. პრეზენტაცია.

სლაიდები 2-10. ფრონტალური მუშაობა კლასთან.

3. ახალი მასალის შესწავლა. საგანმანათლებლო საუბარი კვლევისა და დემონსტრირების ელემენტებთან (სლაიდები 11-24)

დამოკიდებულების მაგალითი. თითოეული ფუნქციის მნიშვნელობა შეესაბამება ერთი არგუმენტის მნიშვნელობას.

ასეთი ფუნქციებისთვის შესაძლებელია არგუმენტის მნიშვნელობებსა და ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის საპირისპირო კავშირის გამოხატვა.

ვარჯიში.

იპოვეთ ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების დომენი და დიაპაზონი.

4. ცოდნის კონსოლიდაცია.

გაკვეთილის შენიშვნები თემაზე "შებრუნებული ფუნქციები"

Გაკვეთილი 1 "საპირისპირო ფუნქცია"

სამიზნე: ჩამოაყალიბეთ თეორიული აპარატი თემაზე. შედი

ინვერსიული ფუნქციის კონცეფცია;

ინვერსიული ფუნქციის კონცეფცია;

ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ შექცევადობის საკმარისი პირობა

ფუნქციები;

ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

ლექციის გაკვეთილის გეგმა

ორგანიზების დრო.

მოსწავლეთა ცოდნის აქტუალიზაცია, რომელიც აუცილებელია ახალი თემის აღქმისთვის.

ახალი მასალის პრეზენტაცია.

გაკვეთილის შეჯამება.

გაკვეთილის მსვლელობა-ლექცია

1. ორგანიზების დრო.

2. ცოდნის განახლება. ( ფრონტალური გამოკითხვა წინა გაკვეთილის თემაზე.)

მოსწავლეებისთვის ინტერაქტიულ დაფაზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი (ნახ. 1). მასწავლებელი აყალიბებს დავალებას - განიხილოს ფუნქციის გრაფიკი და ჩამოთვალოს ფუნქციის შესწავლილი თვისებები. მოსწავლეები ჩამოთვლიან ფუნქციის თვისებებს კვლევის დიზაინის მიხედვით. მასწავლებელი, ფუნქციის გრაფიკის მარჯვნივ, ინტერაქტიულ დაფაზე მარკერით წერს დასახელებულ თვისებებს.

ბრინჯი. 1

ფუნქციის თვისებები:

3. მიზნების დასახვა სტუდენტებისთვის.

სწავლის ბოლოს მასწავლებელი იტყობინება, რომ დღეს გაკვეთილზე გაეცნობიან ფუნქციის კიდევ ერთ თვისებას - შექცევადობას. ახალი მასალის შინაარსიანი შესწავლისთვის მასწავლებელი ეპატიჟება ბავშვებს გაეცნონ ძირითად კითხვებს, რომლებსაც მოსწავლეებმა გაკვეთილის ბოლოს უნდა უპასუხონ. თითოეულ მოსწავლეს აქვს კითხვები დარიგების სახით (ნაწილდება გაკვეთილის წინ).

კითხვები:

1. რა ფუნქციას უწოდებენ შექცევადს?

2. რა ფუნქციას ეწოდება შებრუნებული?

3. როგორ არის დაკავშირებული განსაზღვრების დომენები და პირდაპირი და ინვერსიული ფუნქციების მნიშვნელობების სიმრავლეები?

4. ჩამოაყალიბეთ საკმარისი პირობა, რომ ფუნქცია იყოს შებრუნებული.

5. მზარდი ფუნქციის ინვერსია მცირდება თუ მზარდი?

6. ინვერსიული კენტი ფუნქცია ლუწია თუ კენტი?

7. როგორ არის მოწყობილი ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები?

4. ახალი მასალის პრეზენტაცია.

1) ინვერსიული ფუნქციის კონცეფცია. შექცევადობის საკმარისი პირობა.

ინტერაქტიულ დაფაზე მასწავლებელი ადარებს ორი ფუნქციის გრაფიკს, რომელთა განსაზღვრების სფეროები და მნიშვნელობების სიმრავლეები ერთნაირია, მაგრამ ერთი ფუნქცია მონოტონურია, მეორე კი არა (ნახ. 2). ამრიგად, ფუნქციას აქვს თვისება, რომელიც არ არის დამახასიათებელი ფუნქციისთვის: არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვია ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლიდანვ ( x ) აიღეთ, ეს არის ფუნქციის მნიშვნელობა მხოლოდ ერთ წერტილში, რითაც მასწავლებელი მოსწავლეებს აქცევს შექცევადი ფუნქციის კონცეფციამდე.

ბრინჯი. 2

შემდეგ მასწავლებელი აყალიბებს შექცევადი ფუნქციის განმარტებას და ამტკიცებს შექცევადი ფუნქციის თეორემას ინტერაქტიულ დაფაზე მონოტონური ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით.

განმარტება 1. ფუნქციას ეძახიანშექცევადი , თუ იგი იღებს მის რომელიმე მნიშვნელობას ნაკრების მხოლოდ ერთ წერტილშიX .

თეორემა. თუ ფუნქცია მონოტონურია ნაკრებზეX , მაშინ ის შექცევადია.

მტკიცებულება:

დაუშვით ფუნქცია y=f(x) იზრდება კომპლექტშიXგაუშვი X 1 ≠x 2 - ნაკრების ორი ქულაX .

დაზუსტებისთვის, მოდითX 1 < X 2 . მერე რისგანX 1 < X 2 ფუნქციის გაზრდის შემდეგ, ეს ხდებაf(x 1 ) < f(x 2 ) .

ამრიგად, არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობები შეესაბამება ფუნქციის სხვადასხვა მნიშვნელობებს, ე.ი. ფუნქცია შექცევადია.

თეორემა ანალოგიურად მტკიცდება კლებადი ფუნქციის შემთხვევაში.

(თეორემის დადასტურებისას მასწავლებელი მარკერით აკეთებს ნახაზზე ყველა საჭირო განმარტებას)

შებრუნებული ფუნქციის განმარტების ჩამოყალიბებამდე მასწავლებელი სთხოვს მოსწავლეებს დაადგინონ შემოთავაზებული ფუნქციებიდან რომელია შექცევადი? ინტერაქტიულ დაფაზე ნაჩვენებია ფუნქციების გრაფიკები (ნახ. 3, 4) და ჩაწერილია რამდენიმე ანალიტიკურად განსაზღვრული ფუნქცია:

ა ) ბ )

ბრინჯი. 3 ნახ. 4

ვ ) y=2x+5; გ ) y = - + 7.

კომენტარი. ფუნქციის ერთფეროვნება, არისსაკმარისი ინვერსიული ფუნქციის არსებობის პირობა. Მაგრამ ესარ არის აუცილებელი პირობა.

მასწავლებელი მოჰყავს სხვადასხვა სიტუაციების მაგალითებს, როდესაც ფუნქცია არ არის მონოტონური, მაგრამ შექცევადი, როდესაც ფუნქცია არ არის ერთფეროვანი და შექცევადი, როდესაც ის ერთფეროვანი და შექცევადია.

2) შებრუნებული ფუნქციის ცნება. ინვერსიული ფუნქციის შედგენის ალგორითმი.

განმარტება 2. ნება მიეცით შექცევად ფუნქციონირებასy=f(x) კომპლექტზე განსაზღვრულიX და მისი დიაპაზონიE(f)=Y . მოდით დავამთხვიოთ თითოეულიწსაწყისი ი მაშინ ერთადერთი მნიშვნელობაX, რომელიც f(x)=y. შემდეგ ვიღებთ ფუნქციას, რომელიც განსაზღვრულიაი, ა X - ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი. ეს ფუნქცია აღინიშნებაx=f -1 (y),და დარეკე საპირისპირო ფუნქციასთან მიმართებაშიy=f(x), .

შემდეგ მასწავლებელი აცნობს მოსწავლეებს ანალიზურად მოცემულ შებრუნებული ფუნქციის პოვნის მეთოდს.

ფუნქციისთვის შებრუნებული ფუნქციის შედგენის ალგორითმი წ = ვ ( x ), .

დარწმუნდით, რომ ფუნქციაy=f(x) შექცევადია ინტერვალზეX .

გამოხატვის ცვლადიXმეშვეობით ზეგანტოლებიდან y=f(x), იმის გათვალისწინებით, რომ.

შედეგად თანასწორობის, swapXდა ზე. Იმის მაგივრად x=f -1 (y)დაწერე y=f -1 (x).

კონკრეტული მაგალითებით მასწავლებელი გვიჩვენებს, როგორ გამოიყენოს ეს ალგორითმი.

მაგალითი 1 აჩვენე რა არის ფუნქციისთვისy=2x-5

გამოსავალი . ხაზოვანი ფუნქციაy=2x-5განსაზღვრული რ, იზრდება რ და მისი დიაპაზონი არისრ. ასე რომ, შებრუნებული ფუნქცია არსებობსრ . მისი ანალიტიკური გამოხატვის საპოვნელად ვხსნით განტოლებასy=2x-5შედარებით X ; მიიღეთ. ცვლადებს დაარქვით სახელი, მივიღებთ სასურველ ინვერსიულ ფუნქციას. იგი განისაზღვრება და იზრდება რ.

მაგალითი 2 აჩვენე რა არის ფუნქციისთვისy=x 2 , x ≤ 0 არსებობს შებრუნებული ფუნქცია და იპოვეთ მისი ანალიტიკური გამოხატულება.

გამოსავალი . ფუნქცია არის უწყვეტი, ერთფეროვანი მისი განმარტების დომენში, შესაბამისად, ის შექცევადია. განსაზღვრების დომენებისა და ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის გაანალიზების შემდეგ, კეთდება შესაბამისი დასკვნა შებრუნებული ფუნქციის ანალიტიკური გამოხატვის შესახებ, რომელსაც აქვს ფორმა.

3) ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების თვისებები.

საკუთრება 1.თუ გ არის შებრუნებული ფუნქცია ვ , შემდეგ და ვ არის შებრუნებული ფუნქცია გ (ფუნქციები ურთიერთშებრუნებულია), ხოლოდ ( გ )= ე ( ვ ), ე ( გ )= დ ( ვ ) .

საკუთრება 2. თუ ფუნქცია იზრდება (მცირდება) X სიმრავლეზე, ხოლო Y არის ფუნქციის დიაპაზონი, მაშინ ინვერსიული ფუნქცია იზრდება (მცირდება) Y-ზე.

საკუთრება 3. ფუნქციის ფუნქციის შებრუნებული გრაფიკის მისაღებად აუცილებელია ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიულად გარდაქმნა სწორი ხაზის მიმართ.y=x .

საკუთრება 4. თუ კენტი ფუნქცია შექცევადია, მაშინ მისი ინვერსიაც კენტია.

საკუთრება 5.თუ ფუნქციები ვ ( x ) და ურთიერთშებრუნებული, მაშინ ის მართალია ნებისმიერისთვის და მართალია ნებისმიერისთვის.

მაგალითი 3 დახაზეთ შებრუნებული ფუნქცია, თუ ეს შესაძლებელია.

გამოსავალი. ამ ფუნქციას არ აქვს შებრუნებული დეფინიციის მთელ დომენზე, რადგან ის არ არის მონოტონური. მაშასადამე, განიხილეთ ინტერვალი, რომელზეც ფუნქცია ერთფეროვანია: მაშასადამე, არსებობს შებრუნებული. მოდი ვიპოვოთმისი . ამისთვის გამოვთქვამთx მეშვეობითწ : . გადარქმევა - შებრუნებული ფუნქცია. ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები (ნახ. 5) და დავრწმუნდეთ, რომ ისინი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ.წ = x .

ბრინჯი. 5

მაგალითი 4 იპოვეთ თითოეული ურთიერთშებრუნებული ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე, თუ ეს იცით.

გამოსავალი. ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების თვის 1-ის მიხედვით გვაქვს.

5 . შეჯამება

დიაგნოსტიკური სამუშაოს ჩატარება. ამ სამუშაოს მიზანია ლექციაზე განხილული სასწავლო მასალის ათვისების დონის განსაზღვრა. სტუდენტები მოწვეულნი არიან უპასუხონ ლექციის დასაწყისში ჩამოყალიბებულ კითხვებს.

6 . საშინაო დავალების დაყენება.

1. სალექციო მასალის გააზრება, თეორემების ძირითადი განმარტებები და ფორმულირებები.

2. დაამტკიცეთ ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების თვისებები.

გაკვეთილი 2 საკმარისი პირობა ფუნქციის შეუქცევადობისთვის"

სამიზნე: ამოცანების ამოხსნისას თემაზე თეორიული ცოდნის გამოყენების უნარის ჩამოყალიბება, შექცევადობისთვის ფუნქციის შესასწავლად ამოცანების ძირითადი ტიპების განხილვა, შებრუნებული ფუნქციის ასაგებად.

სემინარის გაკვეთილის გეგმა:

1. საორგანიზაციო მომენტი.

2. ცოდნის აქტუალიზაცია (მოსწავლეთა ფრონტალური მუშაობა).

3. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია (პრობლემის გადაჭრა).

4. გაკვეთილის შეჯამება.

5. განცხადება საშინაო დავალების შესახებ.

გაკვეთილების დროს.

1. ორგანიზების დრო.

მასწავლებელს მისალმება, მოსწავლეების მზადყოფნის შემოწმება გაკვეთილისთვის.

2. ცოდნის განახლება. ( სტუდენტების წინა სამუშაო).

მოსწავლეებს სთხოვენ ზეპირად შეასრულონ შემდეგი დავალებები:

1. ჩამოაყალიბეთ საკმარისი პირობა ფუნქციის შექცევადობისთვის.

2. ფუნქციებს შორის, რომელთა გრაფიკები ნაჩვენებია ნახატზე, მიუთითეთ ისინი, რომლებიც შექცევადია.

3. ჩამოაყალიბეთ ალგორითმი მოცემული ფუნქციის შებრუნებისთვის.

4. არსებობს თუ არა მონაცემების შებრუნებული ფუნქციები? თუ კი, იპოვეთ ისინი:

ა) ; ბ ) ; გ ) .

5. ფუნქციები, რომელთა გრაფიკები ნაჩვენებია ნახატზე, ურთიერთშებრუნებულია (ნახ. 6)? დაასაბუთეთ პასუხი.

ბრინჯი. 6

3. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია (პრობლემის გადაჭრა).

შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია შედგება ორი ეტაპისგან:

სტუდენტების ინდივიდუალური დამოუკიდებელი მუშაობა;

ინდივიდუალური მუშაობის შედეგების შეჯამება.

პირველ ეტაპზე მოსწავლეებს ეძლევათ ბარათები დავალებებით, რომლებსაც ისინი დამოუკიდებლად ასრულებენ.

სავარჯიშო 1.

ფუნქცია შექცევადია განსაზღვრების მთელ დომენზე? თუ კი, მაშინ იპოვნეთ ამის საპირისპირო.

ა) ; ბ) ; გ).

დავალება 2.

არის თუ არა ფუნქციები ურთიერთშებრუნებული:

ა) ;

ბ ) .

დავალება 3.

განვიხილოთ ფუნქცია თითოეულ მითითებულ ინტერვალზე, თუ ფუნქცია შექცევადია ამ ინტერვალზე, მაშინ დააყენეთ მისი ინვერსიული ანალიტიკურად, მიუთითეთ განსაზღვრების დომენი და მნიშვნელობების დიაპაზონი:

ა ) რ ; ბ ) ; დ ) [-2;0].

დავალება 4.

დაამტკიცეთ, რომ ფუნქცია შეუქცევადია. იპოვეთ მის შებრუნებული ფუნქცია ინტერვალზე და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

დავალება 5.

დახაზეთ ფუნქცია და დაადგინეთ არის თუ არა მისთვის შებრუნებული ფუნქცია. თუ კი, მაშინ დახატეთ შებრუნებული ფუნქცია იმავე ნახაზზე და დააყენეთ იგი ანალიტიკურად:

ა ) ; ბ ) .

სტუდენტების ინდივიდუალური მუშაობის შედეგების შეჯამების ეტაპზე ამოცანები მოწმდება მხოლოდ შუალედური შედეგების დაფიქსირებით. პრობლემები, რომლებმაც ყველაზე მეტი სირთულე გამოიწვია, განიხილება დაფაზე ან გადაწყვეტილებების ძიების გამჟღავნებით, ან მთლიანი გადაწყვეტის ჩანაწერით.

4. გაკვეთილის შეჯამება (რეფლექსია).

სტუდენტებს სთავაზობენ მინი კითხვარს:

რა მომეწონა გაკვეთილზე?

რა არ მომეწონა გაკვეთილზე? _________________________________

_________________________________________________________________

აირჩიეთ ერთი განცხადება, რომელიც საუკეთესოდ შეესაბამება თქვენ:

1) შემიძლია დამოუკიდებლად გამოვიკვლიო ფუნქცია შექცევადობისთვის, ავაშენო შებრუნებული და დარწმუნებული ვარ, რომ შედეგი სწორია.

2) შემიძლია შევამოწმო ფუნქცია შექცევადობისთვის, ავაშენო შებრუნებული, მაგრამ ყოველთვის არ ვარ დარწმუნებული შედეგის სისწორეში, მჭირდება ჩემი ამხანაგების დახმარება.

3) შექცევადობის ფუნქციას პრაქტიკულად ვერ გამოვიკვლევ, ინვერსიის აგება, მჭირდება დამატებითი რჩევა მასწავლებლისგან.

სად შემიძლია გამოვიყენო მიღებული ცოდნა? _________________________________________________________________________________

5. საშინაო დავალების დაყენება.

№ 10.3, 10.6 (c, d), 10.7 (c, d), 10.9 (c, d), 10.13 (c, d), 10.18.(მორდკოვიჩი, ა.გ. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი.10 კლასი. 2 საათზე, ნაწილი 2. დავალების წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / ა.გ. მორდკოვიჩი, პ.ვ. სემენოვი. - M.: Mnemosyne, 2014. - 384 გვ.)

ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები და მათი გრაფიკები

(ფარული მასალის განმეორების განზოგადება)

გრაფიკებიდან რომელი შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკს y=x 3 აქვს უკუღმა?

გრაფიკებიდან რომელი შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკს, აქვს თუ არა მას შებრუნებული?

გრაფიკებიდან რომელი შეესაბამება გრაფიკს

საპირისპირო ფუნქცია აქვს?

რომელი გრაფიკი შეესაბამება ფუნქციას?

ჯგუფი 1: უპასუხეთ ა) ახსენი რატომ

რა ფუნქციას შეესაბამება გრაფიკი? 1 . y \u003d x 3 2. 3 . y \u003d x 4 4. y \u003d x -2 5. 6. y = x -1

ფუნქციის გრაფიკზე

D(y)=(-:0) U(0;+)

დააკონკრეტეთ ამის ფარგლები

ფუნქციის გრაფიკზე

მიუთითეთ მოცემულის დიაპაზონი ფუნქციის გრაფიკზე

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

იპოვნეთ მოცემულის შებრუნებული ფუნქცია ზე = გ ( x )

თუ ფუნქცია (2) შებრუნებულია ფუნქციაზე (1), მაშინ ასეთ ფუნქციებს ურთიერთშებრუნებული ეწოდება.

იპოვეთ განსაზღვრების დომენი და ამ ფუნქციების მნიშვნელობების ნაკრები.

• D (y) \u003d (- ∞ ;2) ∪ (2; + ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (y) \u003d (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• ინვერსიული ფუნქციის დომენი g(x) ემთხვევა ორიგინალის მნიშვნელობების ერთობლიობას ფუნქციები ვ ( x ), და შებრუნებული ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე g(x) ემთხვევა ორიგინალური ფუნქციის დომენს f(x) :

დ( g(x) ) = E( f(x )), ე ( გ(x )) = დ( f(x )).

• მონოტონური ფუნქცია შექცევადია:

• თუ ფუნქცია ვ (x) იზრდება, შემდეგ მისი შებრუნებული ფუნქცია გ (x) ასევე იზრდება;
• თუ ფუნქცია ვ (x) მცირდება, შემდეგ მისი შებრუნებული ფუნქცია გ (x) ასევე მცირდება.

მოცემულია: y = x 3

ააგეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი, გამოთქვით მოცემული ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის ფორმულა და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

3. თუ ფუნქციას აქვს შებრუნებული, მაშინ შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ამ ფუნქციის გრაფიკის მიმართ სწორი ხაზის მიმართ y \u003d x.

ააგეთ მოცემული ფუნქციის შებრუნებული გრაფიკი.

დამოუკიდებელი მუშაობის სწავლება

II ვარიანტი

I ვარიანტი

• იპოვნეთ მოცემულის შებრუნებული ფუნქცია:

2. იპოვეთ განსაზღვრების დომენი და ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე მოცემულზე შებრუნებული:

3. ააგეთ მოცემული ფუნქციის შებრუნებული გრაფიკი:

II ვარიანტი

I ვარიანტი

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

Საშინაო დავალება:

ამოხსნის No579, No576 (გ, დ

ანდერძით No581 (1,2)

• გაკვეთილზე ვისწავლე ………………………………
• გაკვეთილზე დამაინტერესა ………………………….
• Ძნელი იყო ………………………………………….
• გაკვეთილზე მიღებული ცოდნა შემიძლია გამოვიყენო ………………………………………………

R e f e x i s:

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

• პროგრამული მასალის შესაბამისად ახალ თემაზე ცოდნის ჩამოყალიბება;
• ფუნქციის შეუქცევადობის თვისების შესწავლა და მოცემულის შებრუნებული ფუნქციის პოვნის სწავლება;

განვითარება:

• განუვითარდებათ თვითკონტროლის უნარები, საგნობრივი მეტყველება;
• დაეუფლოს ინვერსიული ფუნქციის კონცეფციას და ისწავლოს შებრუნებული ფუნქციის პოვნის მეთოდები;

საგანმანათლებლო: კომუნიკაციური კომპეტენციის ჩამოყალიბება.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, პროექტორი, ეკრანი, SMART Board ინტერაქტიული დაფა, მასალა (დამოუკიდებელი სამუშაო) ჯგუფური მუშაობისთვის.

გაკვეთილების დროს.

1. საორგანიზაციო მომენტი.

სამიზნე – სტუდენტების მომზადება საკლასო ოთახში სამუშაოდ:

არყოფნის განმარტება,

მოსწავლეთა დამოკიდებულება მუშაობისადმი, ყურადღების ორგანიზება;

შეტყობინება გაკვეთილის თემისა და მიზნის შესახებ.

2. მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნის განახლება.წინა გამოკითხვა.

სამიზნე - შესწავლილი თეორიული მასალის სისწორის და ცნობადობის დადგენა, დაფარული მასალის გამეორება.<Приложение 1 >

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სტუდენტებისთვის ინტერაქტიულ დაფაზე. მასწავლებელი აყალიბებს დავალებას - განიხილოს ფუნქციის გრაფიკი და ჩამოთვალოს ფუნქციის შესწავლილი თვისებები. მოსწავლეები ჩამოთვლიან ფუნქციის თვისებებს კვლევის დიზაინის მიხედვით. მასწავლებელი, ფუნქციის გრაფიკის მარჯვნივ, ინტერაქტიულ დაფაზე მარკერით წერს დასახელებულ თვისებებს.

ფუნქციის თვისებები:

სწავლის ბოლოს მასწავლებელი იტყობინება, რომ დღეს გაკვეთილზე გაეცნობიან ფუნქციის კიდევ ერთ თვისებას - შექცევადობას. ახალი მასალის შინაარსიანი შესწავლისთვის მასწავლებელი ეპატიჟება ბავშვებს გაეცნონ ძირითად კითხვებს, რომლებსაც მოსწავლეებმა გაკვეთილის ბოლოს უნდა უპასუხონ. კითხვები იწერება ჩვეულებრივ დაფაზე და თითოეულ მოსწავლეს აქვს მასალა (ნაწილდება გაკვეთილის წინ)

1. რა არის შექცევადი ფუნქცია?
2. ყველა ფუნქცია შექცევადია?
3. რა არის შებრუნებული მოცემული ფუნქცია?
4. როგორ არის დაკავშირებული ფუნქციის განსაზღვრის დომენი და მნიშვნელობების სიმრავლე და მისი შებრუნებული ფუნქცია?
5. თუ ფუნქცია მოცემულია ანალიზურად, როგორ განვსაზღვროთ შებრუნებული ფუნქცია ფორმულით?
6. თუ ფუნქცია მოცემულია გრაფიკულად, როგორ გამოვსახოთ მისი შებრუნებული ფუნქცია?

3. ახალი მასალის ახსნა.

სამიზნე - პროგრამული მასალის შესაბამისად ცოდნის ჩამოყალიბება ახალ თემაზე; ფუნქციის შეუქცევადობის თვისების შესწავლა და მოცემულის შებრუნებული ფუნქციის პოვნის სწავლება; განავითაროს საგანი.

მასწავლებელი ახორციელებს მასალის პრეზენტაციას პუნქტის მასალის შესაბამისად. ინტერაქტიულ დაფაზე მასწავლებელი ადარებს ორი ფუნქციის გრაფიკს, რომელთა განსაზღვრების დომენი და მნიშვნელობების სიმრავლე ერთნაირია, მაგრამ ერთი ფუნქცია მონოტონურია და მეორე არა, რითაც მოსწავლეებს აქცევს შექცევადი ფუნქციის კონცეფციას. .

შემდეგ მასწავლებელი აყალიბებს შექცევადი ფუნქციის განმარტებას და ამტკიცებს შექცევადი ფუნქციის თეორემას ინტერაქტიულ დაფაზე მონოტონური ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით.

განმარტება 1: ფუნქციას y=f(x), x X ეწოდება შექცევადითუ იგი იღებს მის რომელიმე მნიშვნელობას X სიმრავლის მხოლოდ ერთ წერტილში.

თეორემა: თუ ფუნქცია y=f(x) მონოტონურია X სიმრავლეზე, მაშინ ის შეუქცევადია.

მტკიცებულება:

1. დაუშვით ფუნქცია y=f(x)იზრდება Xგაუშვი x 1 ≠ x 2- ნაკრების ორი ქულა X.
2. დაზუსტებისთვის, მოდით x 1< x 2.
   მერე რისგან x 1< x 2ამას მოჰყვება f(x 1) < f(x 2).
3. ამრიგად, არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობები შეესაბამება ფუნქციის სხვადასხვა მნიშვნელობებს, ე.ი. ფუნქცია შექცევადია.

(თეორემის დადასტურებისას მასწავლებელი მარკერით აკეთებს ნახაზზე ყველა საჭირო განმარტებას)

შებრუნებული ფუნქციის განმარტების ჩამოყალიბებამდე მასწავლებელი სთხოვს მოსწავლეებს დაადგინონ შემოთავაზებული ფუნქციებიდან რომელია შექცევადი? ინტერაქტიულ დაფაზე ნაჩვენებია ფუნქციების გრაფიკები და დაწერილია რამდენიმე ანალიტიკურად განსაზღვრული ფუნქცია:

ბ)

გ) y = 2x + 5

დ) y = -x 2 + 7

მასწავლებელი აცნობს შებრუნებული ფუნქციის განმარტებას.

განმარტება 2: დავუშვათ შექცევადი ფუნქცია y=f(x)კომპლექტზე განსაზღვრული Xდა E(f)=Y. მოდით დავამთხვიოთ თითოეული წსაწყისი იმაშინ ერთადერთი მნიშვნელობა X, რომელიც f(x)=y.შემდეგ ვიღებთ ფუნქციას, რომელიც განსაზღვრულია ი, ა Xარის ფუნქციის დიაპაზონი

ეს ფუნქცია აღინიშნება x=f -1 (y)და ეწოდება ფუნქციის შებრუნებული y=f(x).

მოსწავლეებს ვთავაზობთ, გამოიტანონ დასკვნა განმარტების სფეროსა და შებრუნებული ფუნქციების მნიშვნელობების სიმრავლეს შორის ურთიერთობის შესახებ.

საკითხის განსახილველად, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ მოცემულის შებრუნებული ფუნქცია, მასწავლებელმა ჩართო ორი მოსწავლე. წინა დღით ბავშვებმა მასწავლებლისგან მიიღეს დავალება, დამოუკიდებლად გაეანალიზებინათ ანალიტიკური და გრაფიკული მეთოდები შებრუნებული მოცემული ფუნქციის საპოვნელად. მასწავლებელი ასრულებდა კონსულტანტს მოსწავლეების გაკვეთილისთვის მომზადებაში.

შეტყობინება პირველი სტუდენტისგან.

შენიშვნა: ფუნქციის ერთფეროვნება არის საკმარისიინვერსიული ფუნქციის არსებობის პირობა. Მაგრამ ეს არ არისაუცილებელი პირობა.

მოსწავლემ მოიყვანა სხვადასხვა სიტუაციების მაგალითები, როდესაც ფუნქცია არ არის მონოტონური, მაგრამ შექცევადი, როდესაც ფუნქცია არ არის ერთფეროვანი და შეუქცევადი, როდესაც ის ერთფეროვანი და შექცევადია.

შემდეგ მოსწავლე აცნობს მოსწავლეებს ანალიტიკურად მოცემულ შებრუნებული ფუნქციის პოვნის მეთოდს.

ალგორითმის პოვნა

1. დარწმუნდით, რომ ფუნქცია მონოტონურია.
2. გამოხატეთ x y-ით.
3. ცვლადების გადარქმევა. x \u003d f -1 (y) ნაცვლად წერენ y \u003d f -1 (x)

შემდეგ ხსნის ორ მაგალითს მოცემულის ინვერსიის ფუნქციის საპოვნელად.

მაგალითი 1:აჩვენეთ, რომ არსებობს y=5x-3 ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია და იპოვეთ მისი ანალიტიკური გამოხატულება.

გამოსავალი. წრფივი ფუნქცია y=5x-3 განისაზღვრება R-ზე, იზრდება R-ზე და მისი დიაპაზონი არის R. მაშასადამე, შებრუნებული ფუნქცია არსებობს R-ზე. მისი ანალიტიკური გამოხატვის საპოვნელად ვხსნით y=5x-3 განტოლებას. x; ვიღებთ ეს არის სასურველი ინვერსიული ფუნქცია. იგი განისაზღვრება და იზრდება რ.

მაგალითი 2:აჩვენეთ, რომ არსებობს y=x 2 , x≤0 ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია და იპოვეთ მისი ანალიტიკური გამოხატულება.

ფუნქცია არის უწყვეტი, ერთფეროვანი მისი განმარტების დომენში, შესაბამისად, ის შექცევადია. განსაზღვრების დომენებისა და ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის გაანალიზების შემდეგ, კეთდება შესაბამისი დასკვნა ინვერსიული ფუნქციის ანალიტიკური გამოხატვის შესახებ.

მეორე მოსწავლე აკეთებს პრეზენტაციას გრაფიკულიროგორ მოვძებნოთ შებრუნებული ფუნქცია. ახსნის დროს მოსწავლე იყენებს ინტერაქტიული დაფის შესაძლებლობებს.

y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის მისაღებად y=f(x) ფუნქციის შებრუნებული y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიულად გარდაქმნა აუცილებელია სწორი ხაზის მიმართ. y=x.

ინტერაქტიულ დაფაზე ახსნის დროს სრულდება შემდეგი დავალება:

ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი და მისი შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი იმავე კოორდინატულ სისტემაში. ჩაწერეთ შებრუნებული ფუნქციის ანალიტიკური გამოხატულება.

4. ახალი მასალის პირველადი ფიქსაცია.

სამიზნე - შესწავლილი მასალის გაგების სისწორის და ცნობადობის დადგენა, მასალის პირველადი გაგების ხარვეზების გამოვლენა, მათი გამოსწორება.

მოსწავლეები იყოფიან წყვილებად. მათ ეძლევათ ფურცლები დავალებებით, რომლებშიც ისინი მუშაობენ წყვილებში. სამუშაოს შესრულების დრო შეზღუდულია (5-7 წუთი). ერთი წყვილი მოსწავლე მუშაობს კომპიუტერზე, პროექტორი ამ დროისთვის გამორთულია და დანარჩენი ბავშვები ვერ ხედავენ როგორ მუშაობენ მოსწავლეები კომპიუტერზე.

დროის ბოლოს (ვარაუდობენ, რომ მოსწავლეთა უმრავლესობამ დაასრულა სამუშაო), ინტერაქტიული დაფა (პროექტორი ისევ ჩართულია) აჩვენებს მოსწავლეების მუშაობას, სადაც ტესტის დროს ირკვევა, რომ დავალება შესრულებულია ქ. წყვილები. საჭიროების შემთხვევაში მასწავლებელი ატარებს მაკორექტირებელ, ახსნა-განმარტებით მუშაობას.

დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში<დანართი 2 >

5. გაკვეთილის შედეგი.ლექციის წინ დასმულ კითხვებზე. გაკვეთილის შეფასებების გამოცხადება.

საშინაო დავალება §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(ბ) 10.12(ბ)

ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი 2 ნაწილად საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova და სხვები; რედ. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007 წ