Данную презентацию можно использовать на любом этапе урока. Содержит элементы повторения пройденного материала, новый теоретический материал, решение задач.

Просмотр содержимого документа
«Презентация по геометрии "Определение подобия треугольников"»

Геометрия, 8 класс

Определение подобных треугольников

Цели урока:

• Повторить понятия «отношение двух чисел»,

«пропорция» ; вспомнить основное свойство

пропорции.

2. Ввести понятие пропорциональных отрезков и

подобных треугольников.

3. Закрепить полученные знания посредством

решения задач.

А теперь вспомним:

• Что называют отношением двух чисел?

Что показывает отношение?

2. Отношение АМ к ВС равно 2:3. О чём это говорит?

Найдите отношение 3:2.

3. В треугольнике АВС АВ:ВС:АС= 1:3:2, его периметр равен 42 см. Найдите стороны треугольника АВС.

4.Что называют пропорцией? Верны ли пропорции

1,2: 3,6 = 6: 18 ; 15: 3 = 4: 20 ?

Продолжим:

5. В пропорции а: b = c: d укажите крайние и средние

члены. Сформулируйте основное свойство пропорции.

6. Переставив средние и крайние члены пропорции,

Составьте верные пропорции:

а). 14: 0,2= 35: 0,5 ; б). AB: MN = С D: КР.

7. Найдите неизвестный член пропорции:

а). 2х: 3 = 16: 9 ; б). х: АВ = MN: КР.

Что называется отношением отрезков?

Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т.е. АВ:С D.

АВ: С D = 4 : 6 или АВ: С D = 2: 3

Какие отрезки называются пропорциональными?

АВ = 2 см, А 1 В 1 = 5 см

C 1 D 1 = 6 см

Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и

С 1 D 1 , если

A 1 B 1 C 1 D 1 .

Два треугольника называют подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

АВ и А 1 В 1

сходственные стороны

ВС и В 1 С 1

СА и С 1 А 1

Итак, Δ АВС и Δ А 1 В 1 С 1 подобны, если будут выполняться условия :

k , где k- коэффициент

А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1

• Даны отрезки: АВ= 12см, CD= 8 см, EF= 15 см, KL= 30 см, MN= 16 см, PQ= 20 см. Найдите среди них пары пропорциональных отрезков.

EF 15 5 получили, что

MN 16 4 АВ MN , значит отрезки АВ и MN

PQ 20 5 EF PQ пропорциональны

отрезкам EF и PQ .

(Самостоятельно найдите ещё две пары пропорциональных отрезков)

• В подобных треугольниках АВС и EDF сто-роны АВ и АС, ВС и DF являются сходст-

венными. Найдите стороны АВ и АС тре-угольника АВС, если ED= 3 см, EF= 7 см,

1. Зная величины сходственных сторон ВС и DF треугольников АВС и EDF , определите коэффициент подобия k .

2. Определите АВ= k · ED и АС= k·EF .

Используемая литература:

1.ГавриловаН.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс.-М.: ВАКО, 2008г.

2.Геометрия. Рабочая тетрадь, 8 класс. Пособие для учащихся общеобразова-тельных школ. Авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, Ю.А.Глазков, И.И.Юдина. М.:Просвещение, 2011г.

3.Геометрия, 7-9:учеб.для общеобразоват. учреждений/(Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев др.).М.:Просвещение,2012г.

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

МБОУ Гимназия №14

Учитель математики: Е.Д. Лазарева

Пропорциональные отрезки

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т.е.

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , если

Определение подобных треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Число k , равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия

B 1

A 1

C 1

Отношение площадей подобных треугольников

Отношением площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

B 1

A 1

C 1

I

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

 ABC,  A 1 B 1 C 1 ,

 A =  A 1 ,  B =  B 1

Доказать:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Признаки подобия треугольников

II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

 ABC,  A 1 B 1 C 1 ,

Доказать:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Признаки подобия треугольников

III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

 ABC,  A 1 B 1 C 1 ,

Доказать:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон

Средняя линия треугольника

параллельна одной из его сторон

и равна половине этой стороны

 ABC, MN – средняя линия

Доказать:

MN  AC, MN = AC

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2: 1,считая от вершины

A 1

C 1

B 1

Применение подобия к решению задач

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

 ABC  ACD,

Применение подобия к доказательству теорем

1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой

Применение подобия к доказательству теорем

2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

краткое содержание других презентаций

«Геометрия «Подобные треугольники»» - Основное тригонометрическое тождество. Второй признак подобия треугольников. Синус, косинус и тангенс. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. Подобные треугольники. Подобие прямоугольных треугольников. Продолжение боковых сторон. Пропорциональные отрезки. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. Значения синуса, косинуса и тангенса. Две стороны треугольника соединили отрезком, непараллельным третьей.

«Нахождение площади трапеции» - Результаты. Свойства прямоугольного треугольника. Найдите площадь трапеции. Сравните площади. Обозначь основания. Задания для самоконтроля. Площадь трапеции. Повторение пройденного материала. Ловушка. Запиши формулы. Сформировать умение применять формулу. Найдите площадь. Площадь клетки. Решение поставленной задачи. Подведём итоги. Площадь.

«Четырёхугольники, их признаки и свойства» - Ромб. Четырёхугольники, их признаки и свойства. Познакомить с видами четырёхугольников. Прямоугольник. Свойства параллелограмма. Прямоугольник, у которого все стороны равны. Четырехугольник, вершины которого находятся в серединах сторон. Диагонали. Виды четырёхугольников. Тесты. Из каких двух равных треугольников можно сложить квадрат. Виды трапеций. Углы ромба. Квадрат. Признаки параллелограмма. Четырехугольники.

«Теорема о вписанном угле» - Радиус окружности равен 4 см. Ответ. Острый угол. Закрепление изученного материала. Актуализация знаний учащихся. Актуализация знаний. Изучение нового материала. Радиус окружности. Как называется угол с вершиной в центре окружности. Найти угол между хордами. Понятие вписанного угла. Треугольник. Найти угол между ними. Решение. Проверь себя. Правильный ответ. Окружности пересекаются. Теорема о вписанном угле.

«Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника» - Прямоугольный треугольник. Имя Пифагора. Сочетание двух противоречивых начал. Геродот. Формулировки теоремы. Античные авторы. Пифагор Самосский. Монета с изображением Пифагора. Теорема Пифагора. Учение Пифагора.

«Понятие площади многоугольника» - Смежные стороны параллелограмма. Площадь треугольника. Математический диктант. Параллелограмм. Площадь ромба. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника. Площадь трапеции. Высоты. Площадь многоугольников. Площадь прямоугольного треугольника. Теорема. Острый угол. Площадь параллелограмма. Вычислите площадь ромба. Найти площадь прямоугольного треугольника. Треугольники. Единицы измерения площади.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Подобные треугольники

Подобные фигуры Фигуры принято называть подобными, если они имеют одинаковую форму (похожи по виду).

Подобие в жизни(карты местности)

Пропорциональные отрезки Определение: отрезки называются пропорциональными, если пропорциональны их длины. 12 6 8 4 А 1 В 1 АВ С 1 К 1 СК Говорят, что отрезки А 1 В 1 и С 1 К 1 пропорциональны отрезкам АВ и СК. Пропорциональны ли отрезки АВ и СК отрезкам ЕР и НТ, если: а) АВ = 15 см, СК = 2,5 см, ЕР = 3 см, НТ = 0,5 см? б) АВ = 12 см, СК = 2,5 см, ЕР = 36 см, НТ = 5 см? в) АВ = 24см, СК = 2,5 см, ЕР = 12 см, НТ = 5 см? да нет нет А В 6 см С К 4 см А 1 В 1 12 см С 1 8 см К 1

б Пропорциональные отрезки Тест 1. Указать верное утверждение: а) отрезки АВ и РН пропорциональны отрезкам СК и МЕ; б) отрезки МЕ и АВ пропорциональны отрезкам РН и СК; в) отрезки АВ и МЕ пропорциональны отрезкам РН и СК. А В 3 см С К 2см М Е 9 см Р Н 6 см Приложение: равенство МЕ АВ РН СК можно записать ещё тремя равенствами: РН СК МЕ АВ; МЕ РН АВ СК; АВ СК МЕ РН.

Пропорциональные отрезки 2 . Тест F Y Z R L S N 1 c м 2 см 4 см 2 см 3 см Какой отрезок нужно вписать, чтобы было верным утверждение: отрезки FY и YZ пропорциональны отрезкам LS и ……. а) RL ; б) RS ; в) SN а) RL

Пропорциональные отрезки (нужное свойство) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Н Дано: АВС, АК – биссектриса. Доказательство: 1 А В К С 2 Т. к. АК – биссектриса, то 1 = 2, значит, АВК и АСК имеют по равному углу, поэтому Доказать: ВК АВ КС АС S АВК S АСК АВ ∙ АК АС ∙ АК AB AC АВК и АСК имеют общую высоту АН, значит, S АВК S АСК ВК К C AB А C BK K С ВК АВ КС АС Следовательно, Проведём АН ВС.

Подобные треугольники Определение: треугольники называются подобными, если углы одного треугольника равны углам другого треугольника и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. А 1 В 1 С 1 А В С Сходственными сторонами в подобных треугольниках называются стороны, лежащие против равных углов. А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1 АВ ВС АС k A 1 B 1 C 1 ABC K – коэффициент подобия ~

Подобные треугольники А 1 В 1 С 1 А В С Нужное свойство: А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С, АВ ВС АС А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1 1 k ABC ~ A 1 B 1 C 1 , – коэффициент подобия 1 k A 1 B 1 C 1 ABC , K – коэффициент подобия ~

Реши задачи 3. По данным на чертеже найти стороны АВ и В 1 С 1 подобных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1: А В С А 1 С 1 В 1 6 3 4 2,5 ? ? Найти стороны А 1 В 1 С 1 , подобного АВС, если АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 3 . 2. Найти стороны А 1 В 1 С 1 , подобного АВС, если АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 1/3.

Теорема 1. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. М К Е A B C Дано: МКЕ ~ АВС, K – коэффициент подобия. Доказать: Р МКЕ: Р АВС = k Доказательство: K , МК АВ КЕ ВС МЕ АС Значит, МК = k ∙ АВ, КЕ = k ∙ ВС, МЕ = k ∙ АС. Т. к. по условию МКЕ ~ АВС, k – коэффициент подобия, то Р МКЕ = МК + КЕ + МЕ = k ∙ АВ + k ∙ ВС + k ∙ АС = k ∙ (АВ + ВС + АС) = k ∙ Р АВС. Значит, Р МКЕ: Р АВС = k .

Теорема 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициент a подобия. М К Е A B C Дано: МКЕ ~ АВС, K – коэффициент подобия. Доказать: S МКЕ: S АВС = k 2 Доказательство: Т. к. по условию МКЕ ~ АВС, k – коэффициент подобия, то M = A, k, MK AB ME AC значит, МК = k ∙ АВ, МЕ = k ∙ АС. S MKE S ABC MK ∙ ME AB ∙ AC k ∙ АВ ∙ k ∙ АС АВ ∙ АС k 2

Реши задачи Две сходственные стороны подобных треугольников равны 8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см. Чему равен периметр первого треугольника? 24 см 2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см 2 . Чему равна площадь первого треугольника? 81 см 2 3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см 2 . Чему равна площадь первого треугольника? 8 см 2 4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см 2 и 48 см 2 . Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна сходственная сторона второго треугольника? 8 см

Решение задачи Площади двух подобных треугольников равны 50 дм 2 и 32 дм 2 , сумма их периметров равна 117 дм. Найдите периметр каждого треугольника. Найти: Р АВС, Р РЕК Решение: Т. к. по условию треугольники АВС и РЕК подобны, то: Дано: АВС, РЕК подобны, S АВС = 50 дм 2 , S РЕК = 32 дм 2 , Р АВС + Р РЕК = 117дм. S АВС S РЕК 50 32 25 16 K 2 . Значит, k = 5 4 K , Р АВС Р РЕК Р АВС Р РЕК 5 4 1,25 Значит, Р АВС = 1,25 Р РЕК Пусть Р РЕК = х дм, тогда Р АВС = 1,25 х дм Т. к. по условию Р АВС + Р РЕК = 117дм, то 1,25 х + х = 117, х = 52. Значит, Р РЕК = 52 дм, Р АВС = 117 – 52 = 65 (дм). Ответ: 65 дм, 52 дм.

« Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит» М. В. Ломоносов Желаю успехов в учёбе! Михайлова Л. П. ГОУ ЦО № 173.