უნდა აღინიშნოს, რომ კომბინატორიკა უმაღლესი მათემატიკის დამოუკიდებელი განყოფილებაა (და არა ტერვერის ნაწილი) და ამ დისციპლინაში დაიწერა წონიანი სახელმძღვანელოები, რომელთა შინაარსი ზოგჯერ აბსტრაქტულ ალგებრაზე ადვილი არ არის. თუმცა თეორიული ცოდნის მცირე წილი ჩვენთვის საკმარისი იქნება და ამ სტატიაში შევეცდები ხელმისაწვდომი ფორმით გავაანალიზო თემის საფუძვლები ტიპიური კომბინატორული ამოცანებით. და ბევრი თქვენგანი დამეხმარება ;-)
Რასაც ჩვენ ვაპირებთ, რომ გავაკეთოთ? ვიწრო გაგებით, კომბინატორიკა არის სხვადასხვა კომბინაციების გამოთვლა, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს გარკვეული ნაკრებიდან. დისკრეტულიობიექტები. ობიექტები გაგებულია, როგორც ნებისმიერი იზოლირებული ობიექტი ან ცოცხალი არსება - ადამიანები, ცხოველები, სოკოები, მცენარეები, მწერები და ა.შ. ამავდროულად, კომბინატორიკას საერთოდ არ აინტერესებს, რომ კომპლექტი შედგება სემოლინის ფირფიტისგან, შედუღების რკინისგან და ჭაობის ბაყაყისგან. ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია, რომ ეს ობიექტები უთვალავი იყოს - სამი მათგანია. (დისკრეტულობა)და მნიშვნელოვანია, რომ არცერთი მათგანი არ იყოს ერთნაირი.
ბევრი დალაგებული, ახლა კომბინაციების შესახებ. კომბინაციების ყველაზე გავრცელებული ტიპებია ობიექტების პერმუტაციები, მათი შერჩევა ნაკრებიდან (კომბინაცია) და განაწილება (განთავსება). ვნახოთ, როგორ ხდება ეს ახლა:
პერმუტაციები, კომბინაციები და განლაგება განმეორების გარეშე
ნუ შეგეშინდებათ ბუნდოვანი ტერმინების, მით უმეტეს, რომ ზოგიერთი მათგანი ნამდვილად არ არის ძალიან წარმატებული. დავიწყოთ სათაურის კუდით - რას ნიშნავს " გამეორების გარეშე"? ეს ნიშნავს, რომ ამ განყოფილებაში განვიხილავთ კომპლექტებს, რომლებიც შედგება სხვადასხვაობიექტები. მაგალითად, ... არა, არ შემოგთავაზებთ ფაფას სამაჯურთან და ბაყაყთან, რაღაც უფრო გემრიელი ჯობია =) წარმოიდგინეთ, რომ თქვენს წინ მაგიდაზე მატერიალიზებულია ვაშლი, მსხალი და ბანანი (თუ არის ნებისმიერი, სიტუაციის სიმულაცია შესაძლებელია რეალურად). ნაყოფს მარცხნიდან მარჯვნივ ვათავსებთ შემდეგი თანმიმდევრობით:
ვაშლი / მსხალი / ბანანი
კითხვა პირველი: რამდენი გზით შეიძლება მათი გადაწყობა?
ერთი კომბინაცია უკვე დაწერილია ზემოთ და დანარჩენთან არანაირი პრობლემა არ არის:
ვაშლი / ბანანი / მსხალი
მსხალი / ვაშლი / ბანანი
მსხალი / ბანანი / ვაშლი
ბანანი / ვაშლი / მსხალი
ბანანი / მსხალი / ვაშლი
სულ: 6 კომბინაცია ან 6 პერმუტაციები.
კარგი, არ იყო რთული აქ ყველა შესაძლო შემთხვევის ჩამოთვლა, მაგრამ რა მოხდება, თუ მეტი ელემენტი იყო? უკვე ოთხი განსხვავებული ხილით, კომბინაციების რაოდენობა მნიშვნელოვნად გაიზრდება!
გთხოვთ გახსენით საცნობარო მასალა (სახელმძღვანელო ადვილად იბეჭდება)და მე-2 პუნქტში იპოვეთ ფორმულა პერმუტაციების რაოდენობისთვის.
არანაირი ტანჯვა - 3 ობიექტის გადალაგება შესაძლებელია.
კითხვა მეორე: რამდენი გზით შეგიძლიათ აირჩიოთ ა) ერთი ხილი, ბ) ორი ხილი, გ) სამი ხილი, დ) ერთი ხილი მაინც?
რატომ ავირჩიოთ? ასე რომ, მათ წინა აბზაცში მადა გაუქმეს - ჭამა! =)
ა) ერთი ხილის შერჩევა შესაძლებელია, ცხადია, სამი გზით - აიღეთ ან ვაშლი, ან მსხალი, ან ბანანი. ფორმალური დათვლა ეფუძნება კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა:
ჩანაწერი ამ შემთხვევაში ასე უნდა გავიგოთ: "რამდენი გზით შეგიძლიათ აირჩიოთ 1 ხილი სამიდან?"
ბ) ჩამოვთვლით ორი ხილის ყველა შესაძლო კომბინაციას:
ვაშლი და მსხალი;
ვაშლი და ბანანი;
მსხალი და ბანანი.
კომბინაციების რაოდენობის შემოწმება მარტივია იმავე ფორმულის გამოყენებით:
ჩანაწერი გაგებულია ანალოგიურად: "რამდენად შეგიძლიათ აირჩიოთ 2 ხილი სამიდან?".
გ) და ბოლოს, სამი ხილის არჩევა შეიძლება უნიკალური გზით:
სხვათა შორის, კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა ასევე აზრი აქვს ცარიელი ნიმუშისთვის:
ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ არც ერთი ხილი - ფაქტობრივად, არაფერი აიღოთ და ეს არის ის.
დ) რამდენი გზით შეგიძლიათ მიიღოთ ერთი მაინცხილი? "მინიმუმ ერთი" პირობა გულისხმობს, რომ ჩვენ კმაყოფილი ვართ 1 ხილით (ნებისმიერი) ან ნებისმიერი 2 ხილით ან სამივე ხილით:
როგორ შეგიძლიათ აირჩიოთ მინიმუმ ერთი ხილი.
მკითხველები, რომლებმაც ყურადღებით შეისწავლეს შესავალი გაკვეთილი ალბათობის თეორიაუკვე გაარკვია რაღაც. მაგრამ პლიუს ნიშნის მნიშვნელობის შესახებ მოგვიანებით.
შემდეგ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მე მჭირდება ორი მოხალისე ... ... კარგი, რადგან არავის არ უნდა, მაშინ მე დავურეკავ დაფას =)
კითხვა მესამე: რამდენი გზით შეიძლება დაურიგდეს ერთი ხილი დაშასა და ნატაშას?
ორი ხილის გასანაწილებლად ჯერ უნდა აირჩიოთ ისინი. წინა კითხვის "ბე" პუნქტის მიხედვით, ეს შეიძლება გაკეთდეს გზებით, მათ კიდევ ერთხელ დავწერ:
ვაშლი და მსხალი;
ვაშლი და ბანანი;
მსხალი და ბანანი.
მაგრამ ახლა ორჯერ მეტი კომბინაცია იქნება. განვიხილოთ, მაგალითად, პირველი წყვილი ხილი:
შეგიძლიათ დაშას ვაშლით მიირთვათ, ნატაშა კი მსხლით;
ან პირიქით - დაშა მიიღებს მსხალს, ნატაშა კი ვაშლს.
და ასეთი პერმუტაცია შესაძლებელია ყველა წყვილი ხილისთვის.
განვიხილოთ იგივე სტუდენტური ჯგუფი, რომელიც წავიდა ცეკვაზე. რამდენი გზით შეიძლება ბიჭისა და გოგოს დაწყვილება?
გზები შეგიძლიათ აირჩიოთ 1 ახალგაზრდა;
გზები შეგიძლიათ აირჩიოთ 1 გოგონა.
ასე რომ, ერთი ახალგაზრდა დაშეიძლება აირჩიო ერთი გოგო: 
გზები.
როდესაც თითოეული ნაკრებიდან არჩეულია 1 ობიექტი, მაშინ მოქმედებს კომბინაციების დათვლის შემდეგი პრინციპი: თითოეულიობიექტს ერთი ნაკრებიდან შეუძლია შექმნას წყვილი ყველასთან ერთადსხვა ნაკრების ობიექტი.
ანუ, ოლეგს შეუძლია 13 გოგონადან რომელიმე მოიწვიოს საცეკვაოდ, ევგენი - ასევე ნებისმიერი ცამეტიდან და სხვა ახალგაზრდებსაც აქვთ მსგავსი არჩევანი. სულ: შესაძლო წყვილები.
უნდა აღინიშნოს, რომ ამ მაგალითში წყვილის ფორმირების „ისტორიას“ მნიშვნელობა არ აქვს; თუმცა, თუ ინიციატივას გავითვალისწინებთ, მაშინ კომბინაციების რაოდენობა უნდა გაორმაგდეს, რადგან 13 გოგონადან თითოეულს შეუძლია ნებისმიერი ბიჭის მოწვევა საცეკვაოდ. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია კონკრეტული ამოცანის პირობებზე!
მსგავსი პრინციპი მოქმედებს უფრო რთულ კომბინაციებზე, მაგალითად: რამდენი გზით შეიძლება აირჩიონ ორი ახალგაზრდა დაორი გოგონა მონაწილეობს KVN სკეტში?
კავშირი დაცალსახად მიუთითებს, რომ კომბინაციები უნდა გამრავლდეს:
მხატვრების შესაძლო ჯგუფები.
Სხვა სიტყვებით, თითოეულიბიჭების წყვილს (45 უნიკალური წყვილი) შეუძლია შეჯიბრი ნებისმიერირამდენიმე გოგონა (78 უნიკალური წყვილი). და თუ გავითვალისწინებთ მონაწილეებს შორის როლების განაწილებას, მაშინ კიდევ უფრო მეტი კომბინაცია იქნება. ... ძალიან მინდა, მაგრამ მაინც თავს შევიკავებ გაგრძელებისგან, რომ სტუდენტური ცხოვრებისადმი ზიზღი არ ჩაგინერგოთ =).
გამრავლების წესი ვრცელდება მეტ მულტიპლიკატორებზე:
დავალება 8
რამდენი სამნიშნა რიცხვი იყოფა 5-ზე?
გამოსავალი: სიცხადისთვის ამ რიცხვს სამი ვარსკვლავით აღვნიშნავთ: ***
AT ასობით ადგილიშეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ან 9). ნული არ არის კარგი, რადგან ამ შემთხვევაში რიცხვი წყვეტს სამნიშნაობას.
მაგრამ შიგნით ათეულების ადგილი(„შუაში“) შეგიძლიათ აირჩიოთ 10 ციფრიდან რომელიმე: .
პირობით რიცხვი უნდა გაიყოს 5-ზე. რიცხვი იყოფა 5-ზე, თუ ის მთავრდება 5-ით ან 0-ით. ამრიგად, ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრით ვკმაყოფილდებით 2 ციფრით.
სულ, არსებობს: სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც იყოფა 5-ზე.
ამავდროულად, ნაწარმოების გაშიფვრა ხდება შემდეგნაირად: „9 გზა, რომლითაც შეგიძლიათ აირჩიოთ რიცხვი ასობით ადგილი დანომრის არჩევის 10 გზა ათეულების ადგილი და 2 გზა ერთეულის ციფრი»
ან კიდევ უფრო მარტივი: თითოეული 9 ციფრიდან ასობით ადგილიკომბინირებული თითოეულთან ერთად 10 ციფრისგან ათეულების ადგილი და თითოეულთანორნიშნა ერთეულის ციფრი».
უპასუხე: 180
Და ახლა…
დიახ, კინაღამ დამავიწყდა No5 პრობლემის დაპირებული კომენტარი, რომელშიც ბორიას, დიმას და ვოლოდიას თითო კარტი შეიძლება დაურიგონ სხვადასხვა გზით. აქ გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს: ისე, რომ თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ 3 კარტი გემბანიდან და თითოეულშინიმუში მათი გზების გადასაწყობად.
ახლა კი პრობლემა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის ... ახლა მე მოვიფიქრებ რაღაც უფრო საინტერესოს, ... დაე, ეს იყოს ბლექჯეკის იგივე რუსული ვერსია:
დავალება 9
2 კარტის რამდენი მომგებიანი კომბინაციაა "ქულის" თამაშში?
მათთვის, ვინც არ იცის: იგებს კომბინაცია 10 + ACE (11 ქულა) = 21 ქულა და განვიხილოთ ორი ტუზის მომგებიანი კომბინაცია.
(ბარათების თანმიმდევრობას ნებისმიერ წყვილში მნიშვნელობა არ აქვს)
მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
სხვათა შორის, არ არის აუცილებელი მაგალითის პრიმიტიული განხილვა. Blackjack თითქმის ერთადერთი თამაშია, რომლისთვისაც არსებობს მათემატიკურად გამართლებული ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაამარცხოთ კაზინო. მსურველებს შეუძლიათ მარტივად მოიძიონ ბევრი ინფორმაცია ოპტიმალური სტრატეგიისა და ტაქტიკის შესახებ. მართალია, ასეთი ოსტატები სწრაფად მოხვდებიან ყველა დაწესებულების შავ სიაში =)
დროა გავაერთიანოთ მასალა, რომელიც დაფარულია რამდენიმე მყარი ამოცანებით:
დავალება 10
ვასიას სახლში 4 კატა ჰყავს.
ა) რამდენი გზით შეიძლება კატების დაჯდომა ოთახის კუთხეებში?
ბ) რამდენი გზით შეიძლება კატებს აეშვათ სეირნობა?
გ) რამდენი გზით შეუძლია ვასიას აიყვანოს ორი კატა (ერთი მარცხნივ, მეორე მარჯვნივ)?
Ჩვენ ვწყვეტთ: ჯერ კიდევ ერთხელ უნდა აღინიშნოს, რომ პრობლემა ეხება განსხვავებულიობიექტები (მაშინაც კი, თუ კატები იდენტური ტყუპები არიან). ეს ძალიან მნიშვნელოვანი პირობაა!
ა) კატების დუმილი. ეს აღსრულება ექვემდებარება ყველა კატა ერთდროულად
+ მათი მდებარეობა მნიშვნელოვანია, ამიტომ აქ არის პერმუტაციები:
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ კატების დაჯდომა ოთახის კუთხეებში.
ვიმეორებ, რომ გადატანისას მნიშვნელოვანია მხოლოდ სხვადასხვა ობიექტების რაოდენობა და მათი შედარებითი პოზიცია. მისი განწყობიდან გამომდინარე, ვასიას შეუძლია ცხოველების ნახევარწრიულად დაჯდომა დივანზე, რიგზე ფანჯრის რაფაზე და ა.შ. - ყველა შემთხვევაში იქნება 24 პერმუტაცია.მოხერხებულობისთვის მსურველებს შეუძლიათ წარმოიდგინონ, რომ კატები მრავალფეროვანია (მაგალითად, თეთრი, შავი, წითელი და ზოლიანი) და ჩამოთვალონ ყველა შესაძლო კომბინაცია.
ბ) რამდენი გზით შეიძლება კატებს აეშვათ სეირნობა?
ვარაუდობენ, რომ კატები სასეირნოდ მხოლოდ კარიდან გადიან, ხოლო კითხვა გულისხმობს გულგრილობას ცხოველების რაოდენობის შესახებ - 1, 2, 3 ან ოთხივე კატას შეუძლია გასეირნება.
ჩვენ განვიხილავთ ყველა შესაძლო კომბინაციას:
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ გაუშვათ ერთი კატა (ოთხიდან რომელიმე); 
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ გაუშვათ ორი კატა სასეირნოდ (თვითონ ჩამოთვალეთ ვარიანტები);
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ გაუშვათ სამი კატა სასეირნოდ (ოთხიდან ერთი ზის სახლში);
ისე, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაათავისუფლოთ ყველა კატა.
თქვენ ალბათ მიხვდით, რომ მიღებული მნიშვნელობები უნდა იყოს შეჯამებული:
გზები კატების სასეირნოდ გასაშვებად.
ენთუზიასტებს ვთავაზობ პრობლემის რთულ ვერსიას - როდესაც ნებისმიერ კატას ნებისმიერი ნიმუშიდან შეუძლია შემთხვევით გასვლა გარეთ, როგორც კარებიდან, ასევე მე-10 სართულის ფანჯრიდან. იქნება მეტი კომბინაციები!
გ) რამდენი გზით შეუძლია ვასიას აიყვანოს ორი კატა?
სიტუაცია მოიცავს არა მხოლოდ 2 ცხოველის არჩევას, არამედ მათ ხელებზე განთავსებას:
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ აირჩიოთ 2 კატა.
მეორე გამოსავალი: გზებით შეგიძლიათ აირჩიოთ ორი კატა დადარგვის გზები ყოველიწყვილი ხელში: 
უპასუხე: ა) 24, ბ) 15, გ) 12
ისე, სინდისის გასაწმენდად, რაღაც უფრო კონკრეტული კომბინაციების გამრავლებაზე .... დაე, ვასიას ჰყავდეს 5 დამატებითი კატა =) რამდენი გზით შეგიძლიათ გაუშვათ 2 კატა სასეირნოდ და 1 კატა?
ანუ თან თითოეულირამდენიმე კატა შეიძლება გათავისუფლდეს ყოველიკატა.
კიდევ ერთი ღილაკი აკორდეონი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
დავალება 11
12 სართულიანი კორპუსის ლიფტში 3 მგზავრი შევიდა. ყველას, სხვებისგან დამოუკიდებლად, შეუძლია ნებისმიერ (მე-2) სართულიდან გასვლა იგივე ალბათობით. რამდენი გზით:
1) მგზავრებს შეუძლიათ ჩამოვიდნენ იმავე სართულზე (გასვლის ბრძანებას არ აქვს მნიშვნელობა);
2) ორ ადამიანს შეუძლია ერთ სართულზე ასვლა, ხოლო მესამეს მეორეზე;
3) ადამიანებს შეუძლიათ ჩამოვიდნენ სხვადასხვა სართულზე;
4) შეუძლიათ თუ არა მგზავრებს ლიფტიდან გასვლა?
და აქ ხშირად მეკითხებიან, მე განვმარტავ: თუ 2 ან 3 ადამიანი გამოდის იმავე სართულზე, მაშინ გასვლის ბრძანებას მნიშვნელობა არ აქვს. დაფიქრდით, გამოიყენეთ ფორმულები და წესები შეკრების/გამრავლების კომბინაციებისთვის. სირთულის შემთხვევაში მგზავრებისთვის სასარგებლოა სახელების დასახელება და მსჯელობა, თუ რა კომბინაციით შეუძლიათ ლიფტიდან გამოსვლა. არ არის საჭირო ინერვიულოთ, თუ რამე არ გამოდგება, მაგალითად, პუნქტი ნომერი 2 საკმაოდ მზაკვრულია, თუმცა ერთ-ერთმა მკითხველმა იპოვა მარტივი გამოსავალი და კიდევ ერთხელ გამოვხატავ მადლობას თქვენი წერილებისთვის!
სრული გადაწყვეტა დეტალური კომენტარებით გაკვეთილის ბოლოს.
ბოლო აბზაცი ეძღვნება კომბინაციებს, რომლებიც ასევე საკმაოდ ხშირად გვხვდება - ჩემი სუბიექტური შეფასებით, კომბინატორული ამოცანების დაახლოებით 20-30% -ში:
პერმუტაციები, კომბინაციები და განლაგება გამეორებებით
კომბინაციების ჩამოთვლილი ტიპები ასახულია საცნობარო მასალის მე-5 პუნქტში კომბინატორიკის ძირითადი ფორმულებითუმცა, ზოგიერთი მათგანი შეიძლება არ იყოს ძალიან ნათელი პირველი წაკითხვისას. ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია ჯერ გაეცნოთ პრაქტიკულ მაგალითებს და მხოლოდ ამის შემდეგ გაიაზროთ ზოგადი ფორმულირება. წადი:
პერმუტაციები გამეორებებით
პერმუტაციებში გამეორებებით, როგორც "ჩვეულებრივ" ცვლილებებში, ობიექტების მთელი ნაკრები ერთდროულად, მაგრამ არის ერთი რამ: ამ ნაკრებში მეორდება ერთი ან მეტი ელემენტი (ობიექტი). დააკმაყოფილეთ შემდეგი სტანდარტი:
დავალება 12
რამდენი ასოს სხვადასხვა კომბინაცია შეიძლება მივიღოთ ბარათების გადალაგებით შემდეგი ასოებით: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?
გამოსავალი: იმ შემთხვევაში, თუ ყველა ასო განსხვავებული იყო, მაშინ უნდა იქნას გამოყენებული ტრივიალური ფორმულა, თუმცა, სავსებით ნათელია, რომ ბარათების შემოთავაზებული ნაკრებისთვის, ზოგიერთი მანიპულაცია იმუშავებს "უსაქმურად", ასე რომ, მაგალითად, თუ შეცვლით რომელიმე ორს. ბარათები ასოებით "K ნებისმიერ სიტყვაში, ეს იქნება იგივე სიტყვა. უფრო მეტიც, ფიზიკურად ბარათები შეიძლება ძალიან განსხვავებული იყოს: ერთი შეიძლება იყოს მრგვალი დაბეჭდილი ასო "K", მეორე კვადრატული დახატული ასო "K". მაგრამ პრობლემის მნიშვნელობის მიხედვით, ასეთი ბარათებიც კი განიხილება იგივე, რადგან პირობა ეკითხება ასოების კომბინაციებს.
ყველაფერი ძალიან მარტივია - ჯამში: 11 ბარათი, მათ შორის ასო:
K - მეორდება 3-ჯერ;
O - მეორდება 3-ჯერ;
L - მეორდება 2-ჯერ;
ბ - გაიმეორეთ 1 ჯერ;
H - მეორდება 1 ჯერ;
და - მეორდება 1 ჯერ.
შეამოწმეთ: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, რისი შემოწმებაც გვინდოდა.
ფორმულის მიხედვით პერმუტაციების რაოდენობა გამეორებებით:
ასოების სხვადასხვა კომბინაციების მიღება შესაძლებელია. ნახევარ მილიონზე მეტი!
დიდი ფაქტორული მნიშვნელობის სწრაფი გაანგარიშებისთვის, მოსახერხებელია სტანდარტული Excel ფუნქციის გამოყენება: ჩვენ ვაფასებთ ნებისმიერ უჯრედში =FACT(11)და დააწკაპუნეთ შედი.
პრაქტიკაში სავსებით მისაღებია ზოგადი ფორმულის არ ჩაწერა და, გარდა ამისა, ერთეული ფაქტორების გამოტოვება: 
მაგრამ წინასწარი კომენტარები განმეორებით წერილებთან დაკავშირებით საჭიროა!
უპასუხე: 554400
გამეორებებით პერმუტაციების კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითი გვხვდება ჭადრაკის ფიგურების მოწყობის პრობლემაში, რომელიც შეგიძლიათ ნახოთ საწყობში. მზა გადაწყვეტილებებიშესაბამის pdf-ში. და დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, მე გამოვიტანე ნაკლებად შაბლონური დავალება:
დავალება 13
ალექსეი დადის სპორტში, ხოლო კვირაში 4 დღე - მძლეოსნობა, 2 დღე - ძალების ვარჯიშები და 1 დღე დასვენება. რამდენი გზით შეუძლია მას ყოველკვირეული გაკვეთილების დაგეგმვა?
ფორმულა აქ არ მუშაობს, რადგან ის ითვალისწინებს გადაფარვის პერმუტაციებს (მაგალითად, როდესაც ოთხშაბათს ძალის ვარჯიშები იცვლება ძალის ვარჯიშებით ხუთშაბათს). და კიდევ - ფაქტობრივად, ერთი და იგივე 2 ძალის ვარჯიში შეიძლება ძალიან განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან, მაგრამ დავალების კონტექსტში (განრიგის თვალსაზრისით) ისინი განიხილება იგივე ელემენტებად.
ორსტრიქონიანი ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
კომბინაციები გამეორებებით
ამ ტიპის კომბინაციის დამახასიათებელი თვისებაა ის, რომ ნიმუში შედგენილია რამდენიმე ჯგუფიდან, რომელთაგან თითოეული შედგება ერთი და იგივე ობიექტებისგან.
დღეს ყველამ ბევრი იშრომა, ამიტომ დროა განახლდეთ:
დავალება 14
სტუდენტური კაფეტერია ყიდის სოსისებს ცომში, ჩიზქეიქებსა და დონატებში. რამდენი გზით შეიძლება ხუთი ნამცხვრის ყიდვა?
გამოსავალი: დაუყოვნებლივ მიაქციეთ ყურადღება გამეორებებთან კომბინაციების ტიპურ კრიტერიუმს - მდგომარეობის მიხედვით, არა ობიექტების ნაკრები, როგორც ასეთი, არამედ განსხვავებული სახეობებიობიექტები; ვარაუდობენ, რომ მინიმუმ ხუთი ჰოთ-დოგი, 5 ჩიზქეიქი და 5 დონატი იყიდება. თითოეულ ჯგუფში ღვეზელები, რა თქმა უნდა, განსხვავებულია - რადგან აბსოლუტურად იდენტური დონატების სიმულაცია შესაძლებელია მხოლოდ კომპიუტერზე =) თუმცა, ღვეზელების ფიზიკური მახასიათებლები პრობლემის გაგებით არ არის არსებითი და ჰოთ-დოგი / ჩიზქეიქები / დონატები მათ ჯგუფებში ერთნაირად ითვლებიან.
რა შეიძლება იყოს ნიმუშში? უპირველეს ყოვლისა უნდა აღინიშნოს, რომ ნიმუშში აუცილებლად იქნება იდენტური ღვეზელები (რადგან ჩვენ ვარჩევთ 5 ცალს, ხოლო არჩევანს გვთავაზობენ 3 სახეობას). ვარიანტები აქ ყველა გემოვნებისთვის: 5 ჰოთ-დოგი, 5 ჩიზქეიქი, 5 დონატი, 3 ჰოთ-დოგი + 2 ჩიზქეიქი, 1 ჰოთ-დოგი + 2 + ჩიზქეიქი + 2 დონატი და ა.შ.
როგორც „რეგულარულ“ კომბინაციებში, ნიმუშში ღვეზელების შერჩევისა და განლაგების თანმიმდევრობასაც არ აქვს მნიშვნელობა - უბრალოდ 5 ცალი აირჩიეს და ესაა.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას 
კომბინაციების რაოდენობა გამეორებებით: 
შეგიძლიათ შეიძინოთ 5 ღვეზელი.
Გემრიელად მიირთვით!
უპასუხე: 21
რა დასკვნის გამოტანა შეიძლება მრავალი კომბინატორიული პრობლემისგან?
ზოგჯერ ყველაზე რთულია მდგომარეობის გაგება.
მსგავსი მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:
დავალება 15
საფულე შეიცავს საკმაოდ დიდ რაოდენობას 1-, 2-, 5- და 10 რუბლის მონეტებზე. რამდენი გზით შეიძლება სამი მონეტის ამოღება საფულედან?
თვითკონტროლის მიზნით, უპასუხეთ რამდენიმე მარტივ კითხვას:
1) შეიძლება თუ არა ნიმუშის ყველა მონეტა განსხვავებული იყოს?
2) დაასახელეთ მონეტების „ყველაზე იაფი“ და „ყველაზე ძვირი“ კომბინაცია.
ამოხსნა და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს.
ჩემი პირადი გამოცდილებიდან შემიძლია ვთქვა, რომ კომბინაციები გამეორებით არის უიშვიათესი სტუმარი პრაქტიკაში, რაც არ შეიძლება ითქვას შემდეგი ტიპის კომბინაციების შესახებ:
განთავსებები გამეორებებით
ელემენტებისაგან შემდგარი ნაკრებიდან შეირჩევა ელემენტები და მნიშვნელოვანია თითოეულ ნიმუშში ელემენტების თანმიმდევრობა. და ყველაფერი კარგად იქნება, მაგრამ საკმაოდ მოულოდნელი ხუმრობა ის არის, რომ ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ორიგინალური ნაკრების ნებისმიერი ობიექტი რამდენჯერაც მოგვწონს. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, "სიმრავლე არ შემცირდება".
როდის ხდება? ტიპიური მაგალითია კომბინირებული საკეტი რამდენიმე დისკთან, მაგრამ ტექნოლოგიის განვითარების გამო, უფრო აქტუალურია მისი ციფრული შთამომავლის გათვალისწინება:
დავალება 16
რამდენი 4-ნიშნა პინ კოდი არსებობს?
გამოსავალი: სინამდვილეში, პრობლემის გადასაჭრელად, საკმარისია იცოდეთ კომბინატორიკის წესები: შეგიძლიათ აირჩიოთ პინ კოდის პირველი ციფრი სხვადასხვა გზით. დაგზები - პინის კოდის მეორე ციფრი დაიმდენივე გზით - მესამედი დაიმდენი - მეოთხე. ამრიგად, კომბინაციების გამრავლების წესის მიხედვით, ოთხნიშნა პინ კოდი შეიძლება შედგეს: გზებით.
ახლა კი ფორმულით. პირობით, გვთავაზობენ ნომრების კომპლექტს, საიდანაც ირჩევა და განთავსდება ნომრები გარკვეული თანმიმდევრობით, ხოლო ნიმუშში მოცემული რიცხვები შეიძლება განმეორდეს (ანუ ორიგინალური ნაკრების ნებისმიერი ციფრი შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვითნებურად რამდენჯერმე). განმეორებით განლაგების რაოდენობის ფორმულის მიხედვით: 
უპასუხე: 10000
რა მახსენდება აქ ... ... თუ ბანკომატმა "ჭამს" ბარათს პინ კოდის შეყვანის მესამე წარუმატებელი მცდელობის შემდეგ, მაშინ მისი შემთხვევით აღების შანსი ძალიან მოჩვენებითია.
და ვინ თქვა, რომ კომბინატორიკას პრაქტიკული აზრი არ აქვს? შემეცნებითი დავალება საიტის ყველა მკითხველისთვის:
პრობლემა 17
სახელმწიფო სტანდარტის მიხედვით, მანქანის სანომრე ნიშანი შედგება 3 ნომრისა და 3 ასოსგან. ამ შემთხვევაში სამი ნულის მქონე რიცხვი დაუშვებელია და ასოები შეირჩევა A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X სიმრავლიდან. (გამოიყენება მხოლოდ ის კირიული ასოები, რომელთა მართლწერა ემთხვევა ლათინურ ასოებს).
რამდენი განსხვავებული ნომრის შედგენა შეიძლება რეგიონისთვის?
ასე არ არის, სხვათა შორის, და ბევრი. დიდ რეგიონებში, ეს რიცხვი არ არის საკმარისი და, შესაბამისად, მათთვის არის რამდენიმე კოდი წარწერისთვის RUS.
ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. კომბინატორიკის წესების გამოყენება არ დაგავიწყდეთ ;-) ...მინდოდა ვიტრაბახო ექსკლუზიურად, მაგრამ აღმოჩნდა, რომ არ იყო ექსკლუზიური =) ვიკიპედიას გადავხედე - არის გამოთვლები, თუმცა უკომენტაროდ. თუმცა საგანმანათლებლო მიზნებისთვის, ალბათ, ცოტამ თუ გადაჭრა იგი.
ჩვენი ამაღელვებელი გაკვეთილი დასრულდა და ბოლოს მინდა ვთქვა, რომ თქვენ არ დაკარგეთ დრო - იმ მიზეზით, რომ კომბინატორიკის ფორმულები პოულობენ კიდევ ერთ სასიცოცხლო პრაქტიკულ გამოყენებას: ისინი გვხვდება სხვადასხვა ამოცანებში. ალბათობის თეორია,
და ში ამოცანები ალბათობის კლასიკურ განმარტებაზე- განსაკუთრებით ხშირად
მადლობა ყველას აქტიური მონაწილეობისთვის და მალე გნახავთ!
გადაწყვეტილებები და პასუხები:
დავალება 2: გამოსავალი: იპოვნეთ 4 კარტის ყველა შესაძლო პერმუტაციის რაოდენობა:
როდესაც ნულოვანი ბარათი პირველ ადგილზეა, რიცხვი ხდება სამნიშნა, ამიტომ ეს კომბინაციები უნდა გამოირიცხოს. მოდით ნული იყოს პირველ ადგილზე, შემდეგ დარჩენილი 3 ციფრი ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრებში შეიძლება გადანაწილდეს გზებით.
შენიშვნა
: იმიტომ რამდენიმე ბარათია, მარტივია ყველა ასეთი ვარიანტის ჩამოთვლა აქ:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
ამრიგად, შემოთავაზებული ნაკრებიდან შეგიძლიათ გააკეთოთ:
24 - 6 = 18 ოთხნიშნა რიცხვი
უპასუხე
: 18
დავალება 4: გამოსავალი: 3 ბარათის არჩევა შესაძლებელია 36 გზით.და
2) "იაფი" ნაკრები შეიცავს 3 რუბლის მონეტას, ხოლო ყველაზე "ძვირადღირებული" ნაკრები შეიცავს 3 ათ რუბლიან მონეტას.
დავალება 17: გამოსავალი: 
როგორ შეგიძლიათ გააკეთოთ სანომრე ნიშნის ციფრული კომბინაცია, მაშინ როცა ერთი მათგანი (000) უნდა გამოირიცხოს:.
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ გააკეთოთ ასოების კომბინაცია მანქანის ნომრიდან.
კომბინაციების გამრავლების წესის მიხედვით, ყველაფერი შეიძლება შედგეს:
მანქანის ნომრები
(თითოეულიციფრული კომბინაცია კომბინირებული თითოეულთან ერთადასოების კომბინაცია).
უპასუხე
: 1726272
მათემატიკის გაკვეთილი მე-5 კლასში
«
გაიცანით კომბინატორიკა"
გაკვეთილის თემა:
გაკვეთილის მიზანი
:
ჩამოაყალიბეთ კომბინატორიული ამოცანების საწყისი უნარები შესაძლო ვარიანტების ჩამოთვლით.გაკვეთილის მიზნები:
საგანმანათლებლო:
კომბინატორიული ამოცანების გადაჭრის უნარის გამომუშავება ვარიანტების სრული ჩამოთვლის მეთოდით;
მათემატიკური თეორიის კონკრეტულ სიტუაციებში გამოყენების უნარის გამომუშავება;
მოსწავლეთა მათემატიკასთან დაკავშირებული ჰუმანიტარული ცოდნის ელემენტების გაცნობა.
გადაწყვეტილების მეთოდის დამოუკიდებლად არჩევის და არჩევანის დასაბუთების უნარის განვითარება;
მხოლოდ ლოგიკური მსჯელობით პრობლემების გადაჭრის უნარის განვითარება;
კოდირების რაციონალური ხერხის არჩევის უნარის განვითარება;
მოსწავლეთა კომუნიკაციური და შემოქმედებითი შესაძლებლობების განვითარება.
- შესრულებული სამუშაოს ხარისხსა და შედეგზე პასუხისმგებლობის გრძნობის ჩამოყალიბება; საქმისადმი შეგნებული დამოკიდებულების ჩამოყალიბება;
- ჩამოაყალიბეთ პასუხისმგებლობა საბოლოო შედეგზე.
- ინტერაქტიული დაფა; დარიგება (ფერადი ზოლები: თეთრი, ლურჯი, წითელი); დავალების ბარათები.
- ორგანიზების დრო. ახალი მასალის სწავლა. პრაქტიკული ნაწილი. ანარეკლი მარკირება საშინაო დავალება
- ორგანიზების დრო.
- თემის განახლება და მოტივაცია.
- 50 რუბლი, 100 რუბლი, 50 რუბლი, 100 რუბლი; 50 რუბლი, 50 რუბლი, 100 რუბლი, 100 რუბლი (სლაიდი No2 და No3).
- ახალი მასალის სწავლა
.
კომბინატორიკა არის მათემატიკის დარგი, რომელიც ეძღვნება მოცემული ელემენტების არჩევისა და მოცემული წესების მიხედვით დალაგების ამოცანების ამოხსნას.
საერთო კითხვა კომბინატორულ ამოცანებში არის " რამდენი გზა …?” ან
« რამდენი ვარიანტია …?»
მასწავლებელი : დავუბრუნდეთ დროშების პრობლემას, გადავჭრათ შესაძლო ვარიანტების ჩამოთვლის გამოყენებით: (სლაიდი ნომერი 7) KBS KSB BSC BCS SBC SKBპასუხი: 6 ვარიანტი. ასე რომ, ამ პრობლემის გადაჭრისას, ჩვენ ვეძებდით გზას, რომ ჩამოვთვალოთ შესაძლო ვარიანტები. Inხშირ შემთხვევაში, გამოსადეგი აღმოჩნდება სურათის აგება - ვარიანტების ჩამოთვლის სქემა. ეს, ჯერ ერთი, ვიზუალურია და მეორეც, საშუალებას გვაძლევს ყველაფერი გავითვალისწინოთ, არაფერი გამოგვრჩეს.გადაწყვეტილების დროშა
BSK, BKS, SBC, SKB, KBS, KSB-ის ვარიანტები.
პასუხი: 6 ვარიანტი.
კითხვა, რომლის პასუხიც ყველამ უნდა იცოდეს, წარმოდგენილი დროშის ვარიანტებიდან რომელია რუსეთის ფედერაციის სახელმწიფო დროშა.(სლაიდი No7)თურმე მხოლოდ რუსეთის დროშას არ აქვს ეს სამი ფერი. არის სახელმწიფოები, რომელთა დროშებსაც იგივე ფერები აქვთ.
KBS - ლუქსემბურგი,
ნიდერლანდები.
საფრანგეთი SKB
მასწავლებელი: მოდი ვიპოვოთ ლოგიკური მსჯელობით ასეთი პრობლემების გადაჭრის წესი.
მოდით შევხედოთ ფერადი ზოლების მაგალითს. ავიღოთ თეთრი ზოლი - შეიძლება გადავაწყოთ 3-ჯერ, ავიღოთ ლურჯი ზოლი - გადავაწყოთ მხოლოდ 2-ჯერ, რადგან ერთ-ერთი ადგილი უკვე უკავია თეთრს, აიღეთ წითელი ზოლი - მისი დადება შესაძლებელია მხოლოდ 1 ჯერ.
სულ: 3 x 2 x 1=6
პროდუქტის ძირითადი წესი :
გამრავლების წესი: თუ კომბინაციაში პირველი ელემენტი შეიძლება აირჩეს გზებით, მაშინ მეორე ელემენტი b გზებით, მაშინ კომბინაციების საერთო რაოდენობა იქნება x b. . (სლაიდი ნომერი 8)
ფიზიკური აღზრდა თვალებისთვის. (სლაიდი ნომერი 9)
სავარჯიშო ფორმები.
თვალებით დახაზეთ კვადრატი, წრე, სამკუთხედი, ოვალური, რომბი საათის ისრის მიმართულებით და შემდეგ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
პრაქტიკული ნაწილი
მასწავლებელი: ახლა გადავიდეთ მათემატიკის ამოცანებზე. (გაანაწილეთ დავალების ბარათები)
ერთ საკმაოდ ცნობილ მუშკეტერს გარდერობში აქვს 3 ელეგანტური ქუდი, 4 მშვენიერი მოსასხამი და 2 წყვილი შესანიშნავი ჩექმა. კოსტუმის რამდენი ვარიანტის გაკეთება შეუძლია მას? (ჩვენ ვირჩევთ ერთ ელემენტს სამი ნაკრებიდან, ანუ ვქმნით "სამს", რაც ნიშნავს, რომ გამრავლების წესის მიხედვით, ვიღებთ 3 4 2 = 24 კოსტუმის ვარიანტს.)
ფეხბურთის გუნდში 11 ადამიანია. აუცილებელია აირჩიოს კაპიტანი და მისი მოადგილე. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება? (სულ არის 11 ადამიანი, რაც ნიშნავს, რომ კაპიტნის არჩევა 11 გზით შეიძლება, დარჩა 10 მოთამაშე, საიდანაც შეგიძლიათ აირჩიოთ კაპიტნის მოადგილე. ასე რომ, 11 10-ში შეიძლება აირჩიონ კაპიტნის წყვილი და მისი მოადგილე. \u003d 110 გზა.)
რამდენი განსხვავებული ორნიშნა რიცხვი შეიძლება ჩამოყალიბდეს 1, 4, 7 რიცხვების გამოყენებით, თუ ნებადართულია რიცხვების გამეორება? (უნდა მიიღოთ ორნიშნა რიცხვი - მხოლოდ ორი პოზიცია. პირველ პოზიციაზე შეგიძლიათ განათავსოთ ნებისმიერი შემოთავაზებული რიცხვი - 3 არჩევანი, მეორე პოზიციაზე, რიცხვის გამეორების შესაძლებლობის გათვალისწინებით, ასევე არის 3. არჩევანი ასე რომ, ჩვენ ვაკეთებთ რიცხვების წყვილს 3 3 = 9 გზა, ანუ ვიღებთ 9 რიცხვს.
რამდენი განსხვავებული სამნიშნა რიცხვის დადგენა შეიძლება 1, 2, 3, 4, 5 ციფრებისგან, იმ პირობით, რომ არცერთი ციფრი არ განმეორდება? (სამნიშნა რიცხვი: პირველი პოზიცია - 5 ვარიანტი რიცხვებისთვის, მეორე პოზიცია, რიცხვების გამეორების აღმოფხვრის გათვალისწინებით - 4 ვარიანტი, მესამე პოზიცია - 3 ვარიანტი. ვიღებთ 5 4 3 = 60 რიცხვს.)
რამდენი განსხვავებული ორნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 0, 1, 2, 3 რიცხვებიდან, თუ რიცხვები: ა) შეიძლება განმეორდეს; ბ) არ შეიძლება განმეორდეს? (ა) ორნიშნა რიცხვი, ისევე როგორც ნებისმიერი მრავალნიშნა რიცხვი, არ შეიძლება დაიწყოს 0-ით, შესაბამისად, ხელმისაწვდომი 4 ციფრიდან მხოლოდ 3, 3 არჩევანი შეიძლება განთავსდეს პირველ პოზიციაზე, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება ჩაიწეროს მეორე პოზიცია, გამეორების გათვალისწინებით - 4 არჩევანი. აქედან გამომდინარე, გამოდის 3 4 \u003d 12 ნომერი; ბ) პირველი პოზიცია - 3 ვარიანტი, მეორე პოზიცია - 3 ვარიანტი, რადგან გამეორება გამორიცხულია. ჩვენ ვიღებთ 3 3 = 9 რიცხვს.)
სეიფის შიფრი შედგება ხუთი განსხვავებული ნომრისგან. რამდენი განსხვავებული შიფრია? (5 4 3 2 1 = 120 ვარიანტი.) რამდენი ხერხით შეიძლება 6 ადამიანი დაჯდეს მაგიდასთან 6 დანაჩანგალით? (6 5 4 3 2 1 = 720 გზა.)
6 ტექნიკა?(6 5 4 3 2 1 = 720 გზა.)
(8 7 6 5 4 = 6720 ვარიანტი.)
(გამოიყენება რიცხვები 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - სულ 10 ციფრი, გამოკლებით 0 და 9 რიცხვის დასაწყისში პირობით, შესაძლებლობის გათვალისწინებით. გამეორება, მივიღებთ 8 10 10 10 10 10 10 = 8,000,000 რიცხვს.)
- ანარეკლი
მასწავლებელი: ბიჭებო, ჩვენი გაკვეთილი დასასრულს უახლოვდება. როგორ ფიქრობთ, მივაღწიეთ დღეს ჩვენს მიზანს, რატომ? რა იყო რთული გაკვეთილზე, როგორ უნდა გაუმკლავდე მათ? დაფიქრდი და მიეცი შენს შრომას და შრომას ნიშანი, შენ თვითონ დააყენე, ვერცერთი ბიჭი ვერ დაინახავს ამ ნიშანს, შეეცადე იყო მართალი საკუთარ თავთან. სრულად მიიღე მონაწილეობა გაკვეთილში? რა უნდა გაკეთდეს უკეთესი შედეგის მისაღწევად?
გარდა ამისა, სტუდენტები მოწვეულნი არიან უპასუხონ 3 ბლიც კითხვას:
დღევანდელ გაკვეთილზე მქონდა ... (მარტივი, ჩვეულებრივ, რთული)
ახალი მასალა მე ... (ვისწავლე და შემიძლია გამოვიყენო, ვისწავლე და მიჭირს გამოყენება, არ ვისწავლე)
ჩემი თვითშეფასება გაკვეთილზე...
ზემოხსენებულ კითხვებზე პასუხები ხელმოწერილი არ არის, რადგან. მათი მთავარი ფუნქციაა დაეხმაროს მასწავლებელს გაკვეთილისა და მისი შედეგების გაანალიზებაში
შეჯამება . მარკირება
მასწავლებელი: ძალიან მიხარია, რომ დღეს ბევრმა თქვენგანმა კარგად გაართვა თავი, ბევრი ახალი ისწავლა, მაგრამ ძალიან მინდა, რომ ყველამ სახლში იშრომოთ და შემდეგ გაკვეთილზე ორები არ მიიღოთ.
7. საშინაო დავალება :
1) შეადგინეთ დავალება თქვენი კლასის შესახებ
2) რამდენიმე ქვეყანამ გადაწყვიტა გამოიყენოს სიმბოლოები თავისი ეროვნული დროშისთვის 3 ჰორიზონტალური ზოლის სახით სხვადასხვა სიგანის, სხვადასხვა ფერის - თეთრი, ლურჯი, წითელი. რამდენ ქვეყანას შეუძლია გამოიყენოს ასეთი სიმბოლოები, იმ პირობით, რომ თითოეულ ქვეყანას აქვს საკუთარი დროშა?
3) ა) რამდენი ორნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 1, 3, 5, 7, 9 რიცხვებიდან?
ბ) რამდენი ორნიშნა რიცხვის დამზადება შეიძლება 1, 3, 5, 7, 9 რიცხვებიდან, იმ პირობით, რომ რიცხვები არ უნდა განმეორდეს.
მასწავლებელი : ასე რომ, გამიხარდა თქვენთან შეხვედრა, დაინტერესდით მათემატიკით, ეს უდავოდ დადებითად აისახება თქვენს აზრებსა და ქმედებებში. გაკვეთილი დასრულდა. Მადლობა ყველას. ნახვამდის.
ლიტერატურა:
ე.ა.ბუნიმოვიჩი, ვ.ა. ბულიჩევი. ალბათობა და სტატისტიკა საშუალო სკოლის მათემატიკის კურსში: ლექციები 1-4, 5-8. - მ .: პედაგოგიური უნივერსიტეტი "პირველი სექტემბერი", 2006 წ.
ვილენკინი ნ.ია. Მათემატიკა. მე-5 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები / N.Ya. Vilenkin et al. - M .: Mnemozina, 2009 წ.
სმიკალოვა ე.ვ. დამატებითი თავები მათემატიკაში მე-5 კლასის მოსწავლეებისთვის. სანქტ-პეტერბურგი: SMIO. პრესა, 2006 წ.
მე-5 კლასი „მათემატიკა-5“, ი.ი. ზუბარევა, ა.გ. მორდკოვიჩი, 2004 წ.
ამოცანები (ბარათები)
შვიდნიშნა ტელეფონის ნომრების რამდენი ვარიანტი შეიძლება ჩამოყალიბდეს, თუ მათგან გამორიცხულია 0 და 9-ით დაწყებული ნომრები?
ერთ საკმაოდ ცნობილ მუშკეტერს გარდერობში აქვს 3 ელეგანტური ქუდი, 4 მშვენიერი მოსასხამი და 2 წყვილი შესანიშნავი ჩექმა. კოსტუმის რამდენი ვარიანტის გაკეთება შეუძლია მას?
ფეხბურთის გუნდში 11 ადამიანია. აუცილებელია აირჩიოს კაპიტანი და მისი მოადგილე. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?
რამდენი განსხვავებული ორნიშნა რიცხვი შეიძლება ჩამოყალიბდეს 1, 4, 7 რიცხვების გამოყენებით, თუ ნებადართულია რიცხვების გამეორება.
რამდენი განსხვავებული სამნიშნა რიცხვის დადგენა შეიძლება 1, 2, 3, 4, 5 ციფრებისგან, იმ პირობით, რომ არცერთი ციფრი არ განმეორდება?
რამდენი განსხვავებული ორნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 0, 1, 2, 3 რიცხვებიდან, თუ რიცხვები: ა) შეიძლება განმეორდეს; ბ) არ შეიძლება განმეორდეს?
სეიფის შიფრი შედგება ხუთი განსხვავებული ნომრისგან. რამდენი განსხვავებული შიფრია?
რამდენი ხერხით შეიძლება 6 ადამიანი დაჯდეს მაგიდასთან 6 ტექნიკა?
მეხუთე კლასში ისწავლება 8 საგანი. რამდენი განსხვავებული განრიგი შეიძლება შედგეს ორშაბათისთვის, თუ ამ დღეს უნდა იყოს 5 გაკვეთილი და ყველა გაკვეთილი განსხვავებულია?პასუხები
6 5 4 3 2 1 = 720 გზა
8 7 6 5 4 = 6720 ვარიანტი
გამოიყენება რიცხვები 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - სულ 10 ციფრი, გამოკლებით 0 და 9 რიცხვის დასაწყისში პირობით, გამეორების შესაძლებლობის გათვალისწინებით. , ვიღებთ 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 რიცხვს.
ჩვენ ვირჩევთ ერთ ელემენტს სამი კომპლექტიდან, ანუ ვქმნით "სამს", რაც ნიშნავს, რომ გამრავლების წესის მიხედვით ვიღებთ 3 4 2 = 24 კოსტუმის ვარიანტს.
სულ 11 ადამიანია, რაც ნიშნავს, რომ კაპიტნის არჩევა 11 გზითაა შესაძლებელი, დარჩა 10 მოთამაშე, საიდანაც შეგიძლიათ კაპიტნის მოადგილის არჩევა. ასე რომ, წყვილი, კაპიტანი და მისი მოადგილე, შეიძლება აირჩიონ 11 10 = 110 გზით.
თქვენ უნდა მიიღოთ ორნიშნა რიცხვი - მხოლოდ ორი პოზიცია. პირველ პოზიციაზე შეგიძლიათ განათავსოთ ნებისმიერი შემოთავაზებული რიცხვი - 3 არჩევანი, მეორე პოზიციაზე, ნომრის გამეორების შესაძლებლობის გათვალისწინებით, ასევე არის 3 არჩევანი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვადგენთ წყვილს 3 3 = 9 გზით, ე.ი. თქვენ მიიღებთ 9 რიცხვს.
სამნიშნა რიცხვი: პირველი პოზიცია - 5 ვარიანტი რიცხვებისთვის, მეორე პოზიცია, რიცხვების გამეორების გამორიცხვის გათვალისწინებით, - 4 ვარიანტი, მესამე პოზიცია - 3 ვარიანტი. ვიღებთ 5 4 3 = 60 რიცხვს.
(ა) ორნიშნა რიცხვი, ისევე როგორც ნებისმიერი მრავალნიშნა რიცხვი, არ შეიძლება დაიწყოს 0-ით, შესაბამისად, ხელმისაწვდომი 4 ციფრიდან მხოლოდ 3, 3 არჩევანი შეიძლება განთავსდეს პირველ პოზიციაზე, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება ჩაიწეროს მეორე პოზიცია, გამეორების გათვალისწინებით - 4 არჩევანი. აქედან გამომდინარე, გამოდის 3 4 \u003d 12 ნომერი; ბ) პირველი პოზიცია - 3 ვარიანტი, მეორე პოზიცია - 3 ვარიანტი, რადგან გამეორება გამორიცხულია. ვიღებთ 3 3 = 9 რიცხვს.
5 4 3 2 1 = 120 ვარიანტი.ბევრი პრაქტიკული პრობლემის გადაჭრისას უნდა გამოვიყენოთ ელემენტების კომბინაციები, მოცემული ნაკრებიდან აირჩიოთ ის, რომელსაც აქვს გარკვეული თვისებები და მოათავსოს ისინი გარკვეული თანმიმდევრობით. ასეთ დავალებებს ე.წ კომბინატორული. მათემატიკის განყოფილებას, რომელიც ეძღვნება ელემენტების არჩევისა და მოცემული პირობების შესაბამისად განლაგების ამოცანების ამოხსნას, ეწოდება კომბინატორიკა. ტერმინი "კომბინატორიკა" მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან კომბინა, რაც რუსულად თარგმანში ნიშნავს - "დაკავშირება", "დაკავშირება".
ელემენტების შერჩეულ ჯგუფებს კავშირები ეწოდება. თუ კავშირის ყველა ელემენტი განსხვავებულია, მაშინ ვიღებთ კავშირებს გამეორების გარეშე, რასაც ქვემოთ განვიხილავთ.
კომბინატორული ამოცანების უმეტესობა წყდება ორი ძირითადი წესის გამოყენებით - ჯამის წესები და პროდუქტის წესები.
დავალება 1.
ყველა ჩაის მაღაზიაში არის 6 განსხვავებული ფინჯანი და 4 განსხვავებული თეფში. რამდენი ჭიქის და თეფშის ვარიანტის ყიდვა შეგიძლიათ?
გამოსავალი.
ფინჯანი შეგვიძლია შევარჩიოთ 6 გზით, თეფში კი 4 გზით. ვინაიდან ჩვენ გვჭირდება წყვილი ჭიქა და თეფშის ყიდვა, ამის გაკეთება შეგვიძლია 6 4 = 24 გზით (პროდუქტის წესის მიხედვით).
პასუხი: 24.
კომბინატორული ამოცანების წარმატებით გადასაჭრელად ასევე აუცილებელია სწორი ფორმულის არჩევა, რომლითაც მოძებნეთ სასურველი ნაერთების რაოდენობა. შემდეგი დიაგრამა დაგეხმარებათ ამაში. 
განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემის გადაწყვეტა სხვადასხვა ტიპის კავშირებისთვის განმეორების გარეშე.
დავალება 2.
იპოვეთ სამნიშნა რიცხვების რიცხვი, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 რიცხვებიდან, თუ რიცხვში რიცხვების გამეორება შეუძლებელია.
გამოსავალი.
ფორმულის ასარჩევად აღმოვაჩენთ, რომ იმ რიცხვებისთვის, რომლებსაც შევადგენთ, თანმიმდევრობაა გათვალისწინებული და ყველა ელემენტი ერთდროულად არ არის შერჩეული. ეს ნიშნავს, რომ ეს კავშირი არის 7 ელემენტის განლაგება 3-ით. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა განლაგების რაოდენობისთვის: A 7 3 = 7(7 - 1)(7 - 2) = 7 6 5 = 210 რიცხვი.
პასუხი: 210.
დავალება 3.
რამდენი შვიდნიშნა ტელეფონის ნომერია, სადაც ყველა ციფრი განსხვავებულია და რიცხვი ნულიდან არ შეიძლება დაიწყოს?
გამოსავალი.
ერთი შეხედვით, ეს ამოცანა იგივეა, რაც წინა, მაგრამ სირთულე ის არის, რომ არ უნდა გაითვალისწინოთ ის კავშირები, რომლებიც იწყება ნულიდან. ასე რომ, აუცილებელია არსებული 10 ციფრიდან ყველა შვიდნიშნა ტელეფონის ნომრის შედგენა, შემდეგ კი მიღებულ რიცხვს ნულიდან დაწყებული რიცხვების გამოკლება. ფორმულა ასე გამოიყურება:
A 10 7 - A 9 6 \u003d 10 9 8 7 6 5 4 - 9 8 7 6 5 4 \u003d 544 320.
პასუხი: 544 320.
დავალება 4.
რამდენი გზით შეიძლება 12 წიგნის თაროზე დალაგება, აქედან 5 წიგნი ლექსების კრებულია, ისე რომ კრებულები გვერდიგვერდ დადგეს?
გამოსავალი.
ჯერ ერთი წიგნისთვის პირობითად ავიღოთ 5 კრებული, რადგან გვერდიგვერდ უნდა იდგნენ. ვინაიდან წესრიგი არსებითია კავშირში და ყველა ელემენტია გამოყენებული, ეს ნიშნავს, რომ ეს არის 8 ელემენტის პერმუტაცია (7 წიგნი + პირობითი 1 წიგნი). მათი რიცხვია R8. შემდგომ ჩვენ გადავაწყობთ ერთმანეთს მხოლოდ ლექსების კრებულებს. ეს შეიძლება გაკეთდეს 5 გზით. ვინაიდან ჩვენ გვჭირდება როგორც კოლექციების, ასევე სხვა წიგნების მოწყობა, გამოვიყენებთ პროდუქტის წესს. ამიტომ, R 8 · R 5 = 8! · 5!. გზების რაოდენობა დიდი იქნება, ამიტომ პასუხი შეიძლება დარჩეს ფაქტორების ნამრავლად.
პასუხი: 8! · 5!
დავალება 5.
კლასში 16 ბიჭი და 12 გოგონაა. სკოლის მიმდებარე ტერიტორიის გასასუფთავებლად საჭიროა 4 ბიჭი და 3 გოგონა. რამდენი გზით შეიძლება მათი არჩევა კლასის ყველა მოსწავლიდან?
გამოსავალი.
ჯერ ცალ-ცალკე ვირჩევთ 16-დან 4 ბიჭს და 12-დან 3 გოგოს. ვინაიდან განლაგების რიგი არ არის გათვალისწინებული, შესაბამისი ნაერთები არის კომბინაციები გამეორების გარეშე. ბიჭების და გოგონების ერთდროულად შერჩევის აუცილებლობის გათვალისწინებით, ვიყენებთ პროდუქტის წესს. შედეგად, გზების რაოდენობა გამოითვლება შემდეგნაირად:
C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 ) 4)) ((10 11 12) ) / (2 3)) = 400 400.
პასუხი: 400 400.
ამრიგად, კომბინატორიული პრობლემის წარმატებული გადაწყვეტა დამოკიდებულია მისი პირობების სწორ ანალიზზე, შედგენილი ნაერთების ტიპის განსაზღვრაზე და მათი რაოდენობის გამოსათვლელად შესაბამისი ფორმულის არჩევაზე.
გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით კომბინატორული ამოცანების გადაჭრა?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.
ბევრ კომბინატორულ პრობლემაში ძნელია უშუალოდ ჩვენთვის საინტერესო ვარიანტების რაოდენობის პოვნა. თუმცა, პრობლემის პირობების გარკვეული ცვლილებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ვარიანტების რაოდენობა, რომელიც აღემატება თავდაპირველს ცნობილი რაოდენობით. ამ მიდგომას ე.წ მრავალჯერადი დათვლის მეთოდი.
1. რამდენი ანაგრამა აქვს სიტყვა CLASS?
სირთულე ის არის, რომ ამ სიტყვაში არის ორი იდენტური ასო C. ჩვენ დროებით განვიხილავთ მათ განსხვავებულად და აღვნიშნავთ C 1 და C 2. მაშინ ანაგრამების რაოდენობა 5-ის ტოლი იქნება! \u003d 120. მაგრამ ის სიტყვები, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ ასოების C 1 და C 2 ცვლილებით, ფაქტობრივად, იგივე ანაგრამაა! მაშასადამე, 120 ანაგრამა იყოფა იდენტურ წყვილებად, ე.ი. ანაგრამების სასურველი რაოდენობაა 120/2 = 60.
2. რამდენი ანაგრამა აქვს სიტყვა CHARADA-ს?
სამი ასო A-ს სხვადასხვა ასოებად A 1, A 2, A 3 დათვლით, მივიღებთ 6-ს! ანაგრამა. მაგრამ სიტყვები, რომლებიც ერთმანეთისგან მიიღება მხოლოდ ასოების A 1, A 2, A 3 გადალაგებით, ფაქტობრივად, იგივე ანაგრამაა. იმიტომ რომ არის 3! ასოების A 1, A 2, A 3 ცვლილებები, თავდაპირველად მიღებული 6! ანაგრამები იყოფა 3 ჯგუფად! იდენტურია და განსხვავებული ანაგრამების რაოდენობაა 6!/3! = 120.
3. რამდენი ოთხნიშნა რიცხვია, რომელიც შეიცავს მინიმუმ ერთ ლუწი ციფრს?
ვიპოვოთ „არასაჭირო“ ოთხნიშნა რიცხვების რაოდენობა, რომელთა ჩანაწერში მხოლოდ კენტია. ასეთი რიცხვი არის 5 4 = 625. მაგრამ სულ არის 9000 ოთხნიშნა რიცხვი, ამიტომ სასურველი რიცხვი "აუცილებელი" არის 9000 - 625 = 8375.
- იპოვეთ ანაგრამების რაოდენობა სიტყვების VERESK, BALAGAN, CITY.
- იპოვეთ ანაგრამების რაოდენობა სიტყვებისთვის BAOBAB, BALLAD, TROUBLE, ANAGRAM, MATHEMATICS, COMBINATORICS, DAFENSE.
- რამდენი გზით შეიძლება 7 ვიზიტორის განთავსება სასტუმროს სამ ნომერში: ერთადგილიან, ორადგილიან და ოთხადგილიან?
- მაცივარში არის ორი ვაშლი, სამი მსხალი და ოთხი ფორთოხალი. ყოველდღე ზედიზედ ცხრა დღის განმავლობაში პეტიას აძლევენ თითო ხილს. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?
- სკოლის შვიდი საუკეთესო მოთხილამურედან საქალაქო შეჯიბრებებში მონაწილეობის მისაღებად სამი კაციანი გუნდი უნდა შეირჩეს. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?
- გამოცდის დაწყებამდე პროფესორმა პირობა დადო, რომ გამოსაცდელთა ნახევარს გადასცემდა. გამოცდაზე 20 სტუდენტი მოვიდა. რამდენი გზით შეუძლია მას დაპირების შესრულება?
- რამდენი სიტყვის დაწერა შეიძლება ხუთი A-ით და არაუმეტეს სამი B-ით?
- იყიდება შოკოლადის, მარწყვის და რძის ნაყინი. რამდენი გზით შეგიძლიათ შეიძინოთ სამი ნაყინი?
- პიცის მომზადებისას ყველს უმატებენ სხვადასხვა კომპონენტებს, რაც უზრუნველყოფს ამა თუ იმ გემოს. ბილს ხელთ აქვს ხახვი, სოკო, პომიდორი, წიწაკა და ანჩოუსი, რაც, მისი აზრით, ყველში შეიძლება დაემატოს. რამდენი სახის პიცა შეუძლია ბილს?
- კრიმინალური დაპირისპირების მოწმეს გაახსენდა, რომ კრიმინალები გაიქცნენ მერსედესით, რომლის ნომერში იყო ასოები T, Z, Y და 3 და 7 რიცხვები (რიცხვი არის ხაზი, რომელშიც ჯერ სამი ასო მიდის, შემდეგ კი სამი რიცხვი. ). რამდენი ასეთი რიცხვია?
- რამდენი დიაგონალია ამოზნექილში ნ-გონი?
- რამდენია იქ ნ-ციფრიანი რიცხვები?
- რამდენი ათნიშნა რიცხვია, რომელიც მინიმუმ ორ იდენტურ ციფრს შეიცავს?
- კამათელი იყრება სამჯერ. შედეგების შესაძლო თანმიმდევრობებს შორის არის ისეთებიც, რომლებშიც ექვსი ერთხელ მაინც გამოვარდა. Რამდენი?
- რამდენ ხუთნიშნა რიცხვს აქვს ჩანაწერში რიცხვი 1?
- რამდენი გზით შეიძლება თეთრი და შავი მეფეების მოთავსება ჭადრაკის დაფაზე, რათა მათ არ შეუტიონ ერთმანეთს?
- რამდენი გამყოფი აქვს 10800-ს?
რეზიუმე თემაზე:
დაასრულა მე-10 "ბ" კლასის მოსწავლემ
№53 საშუალო სკოლა
გლუხოვი მიხაილ ალექსანდროვიჩი
ნაბერეჟნიე ჩელნი
2002 წ
შინაარსი
| კომბინატორიკის ისტორიიდან _________________________________________________ | 3 |
| ჯამის წესი _________________________________________________ | 4 |
| - | |
| პროდუქტის წესი _________________________________________________ | 4 |
| დავალებების მაგალითები _________________________________________________________________ | - |
| გადაკვეთის სიმრავლეები _________________________________________________ | 5 |
| დავალებების მაგალითები _________________________________________________________________ | - |
| ეილერის წრეები _________________________________________________ | - |
| განთავსება გამეორების გარეშე ________________________________________________ | 6 |
| დავალებების მაგალითები _________________________________________________________________ | - |
| პერმუტაციები გამეორების გარეშე _________________________________________________ | 7 |
| დავალებების მაგალითები _________________________________________________________________ | - |
| კომბინაციები გამეორების გარეშე ________________________________________________ | 8 |
| დავალებების მაგალითები _________________________________________________________________ | - |
| განთავსება და კომბინაციები გამეორების გარეშე ________________________________ | 9 |
| დავალებების მაგალითები _________________________________________________________________ | - |
| პერმუტაციები გამეორებებით | 9 |
| დავალებების მაგალითები _________________________________________________________________ | - |
| ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის ________________________________ | 10 |
| ბიბლიოგრაფია _________________________________ | 11 |
კომბინატორიკის ისტორიიდან
კომბინატორიკა ეხება სხვადასხვა ტიპის ნაერთებს, რომლებიც შეიძლება წარმოიქმნას სასრული ნაკრების ელემენტებიდან. კომბინატორიკის ზოგიერთი ელემენტი ცნობილი იყო ინდოეთში ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე II საუკუნეში. ძვ.წ ე. ნიდიელებმა შეძლეს გამოთვალონ რიცხვები, რომლებსაც ახლა „კომბინაციები“ ეწოდება. XII საუკუნეში. ბჰასკარამ გამოთვალა რამდენიმე სახის კომბინაციები და პერმუტაციები. ვარაუდობენ, რომ ინდოელი მეცნიერები სწავლობდნენ ნაერთებს პოეტიკაში მათ გამოყენებასთან, ლექსის სტრუქტურის მეცნიერებასა და პოეტურ ნაწარმოებებთან დაკავშირებით. მაგალითად, n მარცვლის ძირის ხაზგასმული (გრძელი) და დაუხაზავი (მოკლე) მარცვლების შესაძლო კომბინაციების გამოთვლასთან დაკავშირებით. როგორც სამეცნიერო დისციპლინა, კომბინატორიკა ჩამოყალიბდა მე-17 საუკუნეში. წიგნში „არითმეტიკის თეორია და პრაქტიკა“ (1656 წ.) კომბინაციებისა და პერმუტაციების მთელ თავს უთმობს ფრანგი ავტორი ა.
ბ.პასკალმა „ტრაქტატი არითმეტიკული სამკუთხედის შესახებ“ და „ტრაქტატი რიცხვითი რიგის შესახებ“ (1665 წ.) განმარტა ბინომური კოეფიციენტების დოქტრინა. პ.ფერმამ იცოდა მათემატიკური კვადრატებისა და ფიგურული რიცხვების კავშირების შესახებ ნაერთების თეორიასთან. ტერმინი „კომბინატორიკა“ გამოყენება დაიწყო 1665 წელს ლაიბნიცის მიერ ნაშრომის „დისკურსი კომბინატორიულ ხელოვნებაზე“ გამოქვეყნების შემდეგ, რომელშიც პირველად იქნა მოცემული კომბინაციებისა და პერმუტაციების თეორიის მეცნიერული დასაბუთება. ჯ. ბერნოული იყო პირველი, ვინც 1713 წელს შეისწავლა თავისი წიგნის "Ars conjectandi" (მკითხაობის ხელოვნება) მეორე ნაწილში განლაგება. კომბინაციების თანამედროვე სიმბოლიკა შემოთავაზებული იქნა სასწავლო სახელმძღვანელოების სხვადასხვა ავტორთა მიერ მხოლოდ მე-19 საუკუნეში.
კომბინატორული ფორმულების მთელი მრავალფეროვნება შეიძლება გამომდინარეობდეს ორი ძირითადი დებულებიდან სასრულ სიმრავლეებთან დაკავშირებით - ჯამის წესი და პროდუქტის წესი.
ჯამის წესი
თუ სასრული სიმრავლეები არ იკვეთება, მაშინ X U Y ელემენტების რაოდენობა (ან) უდრის X სიმრავლის ელემენტების და Y სიმრავლის ელემენტების ჯამს.
ანუ, თუ პირველ თაროზე არის X წიგნი, ხოლო მეორეზე Y, მაშინ შეგიძლიათ აირჩიოთ წიგნი პირველი ან მეორე თაროდან X + Y გზებით.
დავალების მაგალითები
მოსწავლემ უნდა დაასრულოს პრაქტიკული სამუშაო მათემატიკაში. მას შესთავაზეს 17 თემის არჩევანი ალგებრაში და 13 თემიდან გეომეტრიაში. რამდენი გზით შეუძლია აირჩიოს ერთი თემა პრაქტიკული სამუშაოსთვის?
ამოხსნა: X=17, Y=13
ჯამის წესის მიხედვით X U Y=17+13=30 თემა.
არის 5 ნაღდი ფულის და ტანსაცმლის ლატარიის ბილეთი, 6 სპორტული ლოტოს ბილეთი და 10 მანქანის ლატარიის ბილეთი. რამდენი გზით შეიძლება ერთი ბილეთის არჩევა სპორტული ლატარიიდან ან მანქანის ლატარიიდან?
გამოსავალი: ვინაიდან ფულისა და ტანსაცმლის ლატარია არ მონაწილეობს არჩევანში, არსებობს მხოლოდ 6 + 10 = 16 ვარიანტი.
პროდუქტის წესი
თუ ელემენტი X შეიძლება შეირჩეს k გზებით, ხოლო Y ელემენტი m გზებით, მაშინ წყვილი (X,Y) შეიძლება აირჩეს k*m გზებით.
ანუ, თუ პირველ თაროზე არის 5 წიგნი, ხოლო მეორეზე 10, მაშინ შეგიძლიათ აირჩიოთ ერთი წიგნი პირველი თაროდან და ერთი მეორედან 5 * 10 = 50 გზით.
დავალების მაგალითები
ბაინდერმა უნდა შეკრას 12 სხვადასხვა წიგნი წითელი, მწვანე და ყავისფერი საკინძებით. რამდენი გზით შეუძლია მას ამის გაკეთება?
გამოსავალი: არის 12 წიგნი და 3 ფერი, ამიტომ პროდუქტის წესის მიხედვით შესაძლებელია 12 * 3 = 36 სავალდებულო ვარიანტი.
რამდენი ხუთნიშნა რიცხვია, რომელიც ერთნაირად იკითხება მარცხნიდან მარჯვნივ და მარჯვნიდან მარცხნივ?
ამოხსნა: ასეთ რიცხვებში ბოლო ციფრი პირველის იგივე იქნება, ხოლო წინაბოლო - მეორეს მსგავსად. მესამე ციფრი იქნება ნებისმიერი. ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც XYZYX, სადაც Y და Z არის ნებისმიერი ციფრი და X არ არის ნული. ასე რომ, პროდუქტის წესის მიხედვით, ციფრების რაოდენობა, რომლებიც თანაბრად იკითხება როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ არის 9 * 10 * 10 = 900 ვარიანტი.
გადახურვის ნაკრები
მაგრამ ხდება ისე, რომ X და Y სიმრავლეები იკვეთება, შემდეგ ისინი იყენებენ ფორმულას
, სადაც X და Y არის სიმრავლეები და არის გადაკვეთის ფართობი. დავალების მაგალითები20-მა ადამიანმა იცის ინგლისური და 10-მა გერმანული, აქედან 5-მა იცის ინგლისურიც და გერმანულიც. სულ რამდენი ადამიანია?
პასუხი: 10+20-5=25 კაცი.
ეილერის წრეები ასევე ხშირად გამოიყენება პრობლემის ვიზუალურად გადასაჭრელად. Მაგალითად:
საზღვარგარეთ სამოგზაუროდ მიმავალი 100 ტურისტიდან 30 ადამიანი საუბრობს გერმანულად, 28 - ინგლისურად, 42 - ფრანგულად. 8 ადამიანი ერთდროულად საუბრობს ინგლისურად და გერმანულად, 10 ადამიანი საუბრობს ინგლისურად და ფრანგულად, 5 გერმანულად და ფრანგულად, 3 სამივე ენაზე. ტურისტები არ ლაპარაკობენ ენაზე?გამოსავალი:მოდით გამოვხატოთ ამ პრობლემის მდგომარეობა გრაფიკულად. მოდით დავნიშნოთ წრე მათთვის, ვინც იცის ინგლისური, მეორე წრე მათთვის, ვინც იცის ფრანგული და მესამე წრე მათთვის, ვინც იცის გერმანული.
სამივე ტურისტი საუბრობს სამივე ენაზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ წრეების საერთო ნაწილში ვწერთ რიცხვს 3. 10 ადამიანი საუბრობს ინგლისურად და ფრანგულად, ხოლო 3 მათგანი ასევე გერმანულად. ამიტომ მხოლოდ ინგლისურად და ფრანგულად საუბრობს 10-3=7 ადამიანი.ანალოგიურად, მივიღებთ, რომ მხოლოდ ინგლისურად და გერმანულად საუბრობს 8-3=5 ადამიანი, გერმანულად და ფრანგულად კი 5-3=2 ტურისტი. ჩვენ შევიყვანთ ამ მონაცემებს შესაბამის ნაწილებში.
ახლა განვსაზღვროთ რამდენი ადამიანი საუბრობს ჩამოთვლილთაგან მხოლოდ ერთ ენაზე. გერმანული 30-მა ადამიანმა იცის, მაგრამ მათგან 5+3+2=10-მა სხვა ენებზეც იცის, ასე რომ გერმანული მხოლოდ 20-მა იცის. ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ, რომ 13 ადამიანი საუბრობს ერთ ინგლისურად, ხოლო 30 ადამიანი საუბრობს ერთ ფრანგულად.პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, მხოლოდ 100 ტურისტია. 20 + 13 + 30 + 5 + 7 + 2 + 3 = 80 ტურისტმა იცის მინიმუმ ერთი ენა, შესაბამისად, 20 ადამიანი არ ფლობს არცერთ ამ ენას.
განთავსება განმეორების გარეშე.
რამდენი ტელეფონის ნომერი შეიძლება შედგებოდეს თითოეული 6 ციფრისგან ისე, რომ ყველა ციფრი იყოს განსხვავებული?
ეს არის განლაგების პრობლემის მაგალითი გამეორების გარეშე. აქ მოთავსებულია 6-ის 10 ციფრი და განსხვავებულად განიხილება ვარიანტები, რომლებშიც ერთი და იგივე რიცხვები განსხვავებული თანმიმდევრობითაა.
თუ X-სიმრავლე, რომელიც შედგება n ელემენტისგან, m≤n, მაშინ მოწესრიგებულ X სიმრავლეს, რომელიც შეიცავს m ელემენტებს, ეწოდება მოწესრიგებული X სიმრავლე, რომელიც შეიცავს m ელემენტებს.
n ელემენტის ყველა განლაგების რაოდენობა m-ით აღინიშნება
n! - n-ფაქტორული (ფაქტორული ინგლისური ფაქტორი) ნატურალური რიცხვების ნამრავლი 1-დან ნებისმიერ n რიცხვამდე Დავალება
რამდენი ხერხით შეუძლია 4 ბიჭმა სთხოვოს 6 გოგოდან 4-ს ცეკვა?
გამოსავალი: ორ ბიჭს არ შეუძლია ერთდროულად მოიწვიოს ერთი და იგივე გოგო. და ვარიანტები, რომლებშიც ერთი და იგივე გოგოები ცეკვავენ სხვადასხვა ბიჭებთან განსხვავებულად განიხილება, ამიტომ:
შესაძლებელია 360 ვარიანტი.
პერმუტაციები გამეორების გარეშე
n=m-ის შემთხვევაში (იხ. განლაგება განმეორების გარეშე) n ელემენტის m-ით ეწოდება x სიმრავლის პერმუტაცია.
n ელემენტის ყველა პერმუტაციის რაოდენობა აღინიშნება P n-ით.
ძალაშია n=m:
დავალების მაგალითები
რამდენი განსხვავებული ექვსნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 0, 1, 2, 3, 4.5 ციფრებისგან, თუ რიცხვები არ მეორდება რიცხვში?
1) იპოვეთ ამ რიცხვების ყველა პერმუტაციის რიცხვი: P 6 =6!=720
2) 0 არ შეიძლება იყოს რიცხვის წინ, ამიტომ ამ რიცხვს უნდა გამოვაკლოთ იმ პერმუტაციების რაოდენობა, რომლებშიც წინ არის 0. და ეს არის P 5 =5!=120.
P 6 -P 5 \u003d 720-120 \u003d 600
ცელქი მაიმუნი
დიახ, ფეხაფეხა მიშკა
კვარტეტის თამაში დაიწყო
გაჩერდით, ძმებო, გაჩერდით! -
მაიმუნი ყვირის, - მოიცადე!
როგორ მიდის მუსიკა?
ასე არ ჯდები...
და ასე, და ასე გადანერგილი - ისევ მუსიკა არ მიდის კარგად.
