Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

Raz som bol svedkom rozhovoru dvoch žiadateľov:

– Kedy by ste mali pridať 2πn a kedy by ste mali pridať πn? Len si nepamätám!

– A ja mám ten istý problém.

Chcel som im len povedať: "Nemusíte sa učiť naspamäť, ale rozumieť!"

Tento článok je určený predovšetkým študentom stredných škôl a dúfam, že im pomôže vyriešiť najjednoduchšie trigonometrické rovnice s „porozumením“:

Číselný kruh

Spolu s pojmom číselná os existuje aj pojem číselný kruh. Ako vieme, v pravouhlom súradnicovom systéme sa kružnica so stredom v bode (0;0) a polomerom 1 nazýva jednotková kružnica. Predstavme si číselnú os ako tenkú niť a navinieme ju okolo tejto kružnice: počiatok (bod 0) pripevníme k „správnemu“ bodu jednotkovej kružnice, kladnú poloos obtočíme proti smeru hodinových ručičiek a zápornú polos -osi v smere (obr. 1). Takýto jednotkový kruh sa nazýva číselný kruh.

Vlastnosti číselného kruhu

• Každé reálne číslo leží v jednom bode číselného kruhu.
• V každom bode číselného kruhu je nekonečne veľa reálnych čísel. Keďže dĺžka jednotkovej kružnice je 2π, rozdiel medzi ľubovoľnými dvoma číslami v jednom bode kruhu sa rovná jednému z čísel ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Poďme na záver: ak poznáme jedno z čísel bodu A, môžeme nájsť všetky čísla bodu A.

Nakreslíme si priemer AC (obr. 2). Keďže x_0 je jedno z čísel bodu A, potom čísla x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... a iba oni budú čísla bodu C. Vyberme si jedno z týchto čísel, povedzme x_0+π, a pomocou neho zapíšme všetky čísla bodu C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Všimnite si, že čísla v bodoch A a C možno spojiť do jedného vzorca: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (pre k = 0; ±2; ±4; ... získame čísla bod A a pre k = ±1; ±3; ±5; … – čísla bodu C).

Poďme na záver: ak poznáme jedno z čísel v jednom z bodov A alebo C priemeru AC, môžeme nájsť všetky čísla v týchto bodoch.

• Dve protiľahlé čísla sú umiestnené v bodoch kruhu, ktoré sú symetrické vzhľadom na os x.

Nakreslíme zvislú tetivu AB (obr. 2). Keďže body A a B sú symetrické okolo osi Ox, číslo -x_0 sa nachádza v bode B, a preto sú všetky čísla bodu B dané vzorcom: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Čísla v bodoch A a B zapíšeme pomocou jedného vzorca: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Na záver: ak poznáme jedno z čísel v jednom z bodov A alebo B zvislej tetivy AB, môžeme nájsť všetky čísla v týchto bodoch. Uvažujme vodorovnú tetivu AD a nájdime čísla bodu D (obr. 2). Keďže BD je priemer a číslo -x_0 patrí bodu B, potom -x_0 + π je jedno z čísel bodu D a teda všetky čísla tohto bodu sú dané vzorcom x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Čísla v bodoch A a D možno zapísať pomocou jedného vzorca: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pre k= 0; ±2; ±4; … dostaneme čísla bodu A a pre k = ±1; ±3; ±5; … – čísla bodu D).

Poďme na záver: ak poznáme jedno z čísel v jednom z bodov A alebo D vodorovnej tetivy AD, môžeme nájsť všetky čísla v týchto bodoch.

Šestnásť hlavných bodov číselného kruhu

V praxi riešenie väčšiny najjednoduchších goniometrických rovníc zahŕňa šestnásť bodov na kružnici (obr. 3). Čo sú to za bodky? Červené, modré a zelené bodky rozdeľujú kruh na 12 rovnakých častí. Keďže dĺžka polkruhu je π, potom je dĺžka oblúka A1A2 π/2, dĺžka oblúka A1B1 je π/6 a dĺžka oblúka A1C1 je π/3.

Teraz môžeme označiť jedno číslo naraz:

π/3 na C1 a

Vrcholy oranžového štvorca sú stredmi oblúkov každej štvrtiny, preto sa dĺžka oblúka A1D1 rovná π/4 a teda π/4 je jedno z čísel bodu D1. Pomocou vlastností číselného kruhu môžeme pomocou vzorcov zapísať všetky čísla na všetkých vyznačených bodoch nášho kruhu. Súradnice týchto bodov sú vyznačené aj na obrázku (popis ich získavania vynecháme).

Keď sme sa naučili vyššie uvedené, máme teraz dostatočnú prípravu na riešenie špeciálnych prípadov (pre deväť hodnôt čísla a) najjednoduchšie rovnice.

Riešte rovnice

1)sinx=1⁄(2).

– Čo sa od nás vyžaduje?

– Nájdite všetky čísla x, ktorých sínus je 1/2.

Pripomeňme si definíciu sínusu: sinx – ordináta bodu na číselnom kruhu, na ktorom sa nachádza číslo x. Na kružnici máme dva body, ktorých súradnica sa rovná 1/2. Toto sú konce horizontálnej tetivy B1B2. To znamená, že požiadavka „vyriešiť rovnicu sinx=1⁄2“ je ekvivalentná požiadavke „nájdi všetky čísla v bode B1 a všetky čísla v bode B2“.

2)sinx=-√3⁄2 .

Potrebujeme nájsť všetky čísla v bodoch C4 a C3.

3) sinx=1. Na kružnici máme iba jeden bod s ordinátou 1 - bod A2, a preto potrebujeme nájsť iba všetky čísla tohto bodu.

Odpoveď: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Iba bod A_4 má ordinátu -1. Všetky čísla tohto bodu budú koňmi rovnice.

Odpoveď: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Na kružnici máme dva body so súradnicou 0 - body A1 a A3. Čísla môžete označiť v každom z bodov samostatne, ale vzhľadom na to, že tieto body sú diametrálne odlišné, je lepšie ich spojiť do jedného vzorca: x=πk,k∈Z.

Odpoveď: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Pripomeňme si definíciu kosínusu: cosx je úsečka bodu na číselnom kruhu, na ktorom sa nachádza číslo x. Na kružnici máme dva body s úsečkou √2⁄2 - konce vodorovnej tetivy D1D4. Musíme nájsť všetky čísla v týchto bodoch. Zapíšme si ich a spojme ich do jedného vzorca.

Odpoveď: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Potrebujeme nájsť čísla v bodoch C_2 a C_3.

Odpoveď: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Iba body A2 a A4 majú súradnicu 0, čo znamená, že všetky čísla v každom z týchto bodov budú riešením rovnice.
.

Riešením rovnice sústavy sú čísla v bodoch B_3 a B_4. K nerovnosti cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Odpoveď: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Všimnite si, že pre akúkoľvek prípustnú hodnotu x je druhý faktor kladný, a preto je rovnica ekvivalentná systému

Riešením systémovej rovnice je počet bodov D_2 a D_3. Čísla bodu D_2 nespĺňajú nerovnosť sinx≤0,5, ale čísla bodu D_3 áno.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – sprístupniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Môžete si objednať podrobné riešenie vášho problému!!!

Rovnosť obsahujúca neznámu pod znamienkom goniometrickej funkcie (`sin x, cos x, tan x` alebo `ctg x`) sa nazýva goniometrická rovnica a ďalej sa budeme zaoberať ich vzorcami.

Najjednoduchšie rovnice sú `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je uhol, ktorý sa má nájsť, `a` je ľubovoľné číslo. Zapíšme si koreňové vzorce pre každý z nich.

1. Rovnica `sin x=a`.

Pre `|a|>1` nemá žiadne riešenia.

Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rovnica `cos x=a`

Pre `|a|>1` - ako v prípade sínusu, nemá medzi reálnymi číslami žiadne riešenia.

Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Špeciálne prípady pre sínus a kosínus v grafoch.

3. Rovnica `tg x=a`

Má nekonečný počet riešení pre ľubovoľné hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rovnica `ctg x=a`

Má tiež nekonečný počet riešení pre akékoľvek hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Vzorce pre korene goniometrických rovníc v tabuľke

Pre sínus:
Pre kosínus:
Pre tangens a kotangens:
Vzorce na riešenie rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie:

Metódy riešenia goniometrických rovníc

Riešenie akejkoľvek goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz:

• s pomocou premeny na najjednoduchšie;
• vyriešiť najjednoduchšiu rovnicu získanú pomocou koreňových vzorcov a tabuliek napísaných vyššie.

Pozrime sa na hlavné metódy riešenia pomocou príkladov.

Algebraická metóda.

Táto metóda zahŕňa nahradenie premennej a jej nahradenie rovnosťou.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

urobte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, potom `2y^2-3y+1=0`,

nájdeme korene: `y_1=1, y_2=1/2`, z ktorých vyplývajú dva prípady:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpoveď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizácia.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `sin x+cos x=1`.

Riešenie. Presuňme všetky členy rovnosti doľava: `sin x+cos x-1=0`. Pomocou , transformujeme a faktorizujeme ľavú stranu:

`sin x – 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpoveď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcia na homogénnu rovnicu

Najprv musíte túto trigonometrickú rovnicu zredukovať na jednu z dvoch foriem:

`a sin x+b cos x=0` (homogénna rovnica prvého stupňa) alebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogénna rovnica druhého stupňa).

Potom obe časti vydeľte `cos x \ne 0` - pre prvý prípad a `cos^2 x \ne 0` - pre druhý prípad. Získame rovnice pre `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ktoré je potrebné vyriešiť známymi metódami.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Riešenie. Napíšme pravú stranu ako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 hriech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` hriech^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ide o homogénnu goniometrickú rovnicu druhého stupňa, jej ľavú a pravú stranu vydelíme `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Zavedme nahradenie `tg x=t`, výsledkom čoho bude `t^2 + t - 2=0`. Korene tejto rovnice sú `t_1=-2` a `t_2=1`. potom:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpoveď. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prechod do polovičného uhla

Príklad. Vyriešte rovnicu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Riešenie. Aplikujme vzorce s dvojitým uhlom, výsledkom čoho je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Použitím vyššie opísanej algebraickej metódy dostaneme:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpoveď. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Zavedenie pomocného uhla

V goniometrickej rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c sú koeficienty a x je premenná, vydeľte obe strany `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))“.

Koeficienty na ľavej strane majú vlastnosti sínus a kosínus, konkrétne súčet ich druhých mocnín je rovný 1 a ich moduly nie sú väčšie ako 1. Označme ich takto: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, potom:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pozrime sa bližšie na nasledujúci príklad:

Príklad. Vyriešte rovnicu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Riešenie. Vydelíme obe strany rovnosti `sqrt (3^2+4^2)`, dostaneme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).

`3/5 hriechu x+4/5 čos x=2/5`.

Označme `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Keďže `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, potom berieme `\varphi=arcsin 4/5` ako pomocný uhol. Potom svoju rovnosť zapíšeme v tvare:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Použitím vzorca pre súčet uhlov pre sínus zapíšeme našu rovnosť v nasledujúcom tvare:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpoveď. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Zlomkové racionálne goniometrické rovnice

Ide o rovnosti so zlomkami, ktorých čitateľ a menovateľ obsahuje goniometrické funkcie.

Príklad. Vyriešte rovnicu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Riešenie. Vynásobte a vydeľte pravú stranu rovnosti `(1+cos x)`. V dôsledku toho dostaneme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Ak vezmeme do úvahy, že menovateľ nemôže byť rovný nule, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Dajme rovnítko medzi čitateľom zlomku a nulou: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom „sin x=0“ alebo „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vzhľadom na to, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, riešenia sú `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Odpoveď. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria a najmä trigonometrické rovnice sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva. Štúdium začína v 10. ročníku, vždy sú úlohy na Jednotnú štátnu skúšku, preto si skúste zapamätať všetky vzorce goniometrických rovníc - určite sa vám budú hodiť!

Nemusíte sa ich však ani učiť naspamäť, hlavné je pochopiť podstatu a vedieť ju odvodiť. Nie je to také ťažké, ako sa zdá. Presvedčte sa sami sledovaním videa.

Hlavné metódy riešenia goniometrických rovníc sú: redukcia rovníc na najjednoduchšie (pomocou goniometrických vzorcov), zavádzanie nových premenných a faktoring. Pozrime sa na ich použitie s príkladmi. Venujte pozornosť formátu zápisu riešení goniometrických rovníc.

Nevyhnutnou podmienkou úspešného riešenia goniometrických rovníc je znalosť goniometrických vzorcov (téma 13 práce 6).

Príklady.

1. Rovnice zredukované na najjednoduchšie.

1) Vyriešte rovnicu

Riešenie:

odpoveď:

2) Nájdite korene rovnice

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, patriace do segmentu.

Riešenie:

odpoveď:

2. Rovnice redukujúce na kvadratické.

1) Vyriešte rovnicu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Riešenie: Pomocou vzorca sin 2 x = 1 – cos 2 x dostaneme

odpoveď:

2) Vyriešte rovnicu cos 2x = 1 + 4 cosx.

Riešenie: Pomocou vzorca cos 2x = 2 cos 2 x – 1 dostaneme

odpoveď:

3) Vyriešte rovnicu tgx – 2ctgx + 1 = 0

Riešenie:

odpoveď:

3. Homogénne rovnice

1) Vyriešte rovnicu 2sinx – 3cosx = 0

Riešenie: Nech cosx = 0, potom 2sinx = 0 a sinx = 0 – rozpor s tým, že sin 2 x + cos 2 x = 1. To znamená cosx ≠ 0 a rovnicu môžeme vydeliť cosx. Dostaneme

odpoveď:

2) Riešte rovnicu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Riešenie:

Použijeme vzorce 1 = sin 2 x + cos 2 x a sin 2x = 2 sinxcosx, dostaneme

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Nech cosx = 0, potom sin 2 x = 0 a sinx = 0 – rozpor s tým, že sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znamená cosx ≠ 0 a rovnicu môžeme vydeliť cos 2 x . Dostaneme

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označme tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
yi = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

odpoveď: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Rovnice formulára a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

odpoveď:

5. Rovnice riešené rozkladom.

1) Vyriešte rovnicu sin2x – sinx = 0.

Koreň rovnice f (X) = φ ( X) môže slúžiť iba ako číslo 0. Skontrolujte toto:

cos 0 = 0 + 1 – rovnosť je pravdivá.

Číslo 0 je jediným koreňom tejto rovnice.

odpoveď: 0.